مسابقة دكتوراه 2013 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 02

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

Concours d'accès à la formation de 3ème Cycle 2012/2013 — Mathématiques — Épreuve de Probabilités & Statistique (1H30), Université Mohamed Khider Biskra, Faculté des sciences exactes et sciences de la nature et de la vie, Département de Mathématiques.

التمرين 1

Exercice 1 — Inégalité de Markov généralisée

#probability#markov-inequality#measure-theory

Sur un espace probabilisé $(\Omega, F, P)$ , on considère une variable aléatoire réelle $X$ et soit $\varphi$ une fonction de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}_+$ . Montrer que pour tout $a \gt 0$ :

P(\varphi(X) \geq a) \leq \frac{1}{a} E[\varphi(X)].

◀الحل

$a \cdot \mathbf{1}_{\{\varphi(X) \geq a\}} \leq \varphi(X) \cdot \mathbf{1}_{\{\varphi(X) \geq a\}} \leq \varphi(X)$ .

En prenant l'espérance : $a \cdot P(\varphi(X) \geq a) \leq E[\varphi(X)]$ .

\boxed{P(\varphi(X) \geq a) \leq \frac{1}{a}E[\varphi(X)]}

التمرين 2

Exercice 2 — Loi exponentielle symétrique et loi de Cauchy

#probability#characteristic-function#laplace-distribution#cauchy-distribution#fourier-inversion

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle symétrique de densité

f(x) = \frac{a}{2} \exp(-a|x|), \quad \text{pour } x \in \mathbb{R}.

Calculer la fonction caractéristique de $X$ .
En utilisant la formule d'inversion de Fourier $\Psi_X(t) = \int e^{itx} f(x) dx \implies f(x) = \frac{1}{2\pi} \int e^{-itx} \Psi_X(t) dt$ , pour déduire la fonction caractéristique d'une variable aléatoire $Y$ suivant la loi de Cauchy de densité : $f(x) = \frac{1}{\pi(1+x^2)}$ , $x \in \mathbb{R}$ .
Soient $X_1, \ldots, X_n$ une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi de Cauchy. Montrer que $Z = \frac{1}{n}(X_1 + \cdots + X_n)$ suit une loi de Cauchy.

◀الحل

1.

$\Psi_X(t) = \int \frac{a}{2} e^{itx-a|x|} dx = \frac{a^2}{a^2+t^2}$ .

\boxed{\Psi_X(t) = \frac{a^2}{a^2+t^2}}

2.

Pour la Cauchy ( $a=1$ ) : $f_Y(x) = \frac{1}{\pi(1+x^2)}$ . Par inversion, $\Psi_Y(t) = e^{-|t|}$ .

En effet, $\frac{1}{\pi(1+x^2)} = \frac{1}{2\pi}\int e^{-itx} e^{-|t|} dt$ .

\boxed{\Psi_Y(t) = e^{-|t|}}

3.

$\Psi_Z(t) = \Psi_{X_1}(t/n)^n = (e^{-|t/n|})^n = e^{-|t|}$ . C'est la fonction caractéristique de la loi de Cauchy.

\boxed{Z \sim \text{Cauchy}}

التمرين 3

Exercice 3 — Statistique descriptive : fréquence, moyenne, médiane

#descriptive-statistics#frequency#mean#median#range

Voici la série, ordonnées dans l'ordre croissant, des 15 notes obtenues en mathématiques par un élève au cours du premier semestre :

4, 6, 6, 9, 11, 11, 12, 13, 13, 13, 14, 15, 17, 18, 18.

Quelle est la fréquence de la note 13 ?
Quelle est la note moyenne ?
Quelle est la note médiane ?
Quelle est l'étendue de cette série de notes ?

◀الحل

1.

La note 13 apparaît 3 fois sur 15.

\boxed{f(13) = 3/15 = 0{,}2 = 20\%}

2.

$\bar{x} = (4+6+6+9+11+11+12+13+13+13+14+15+17+18+18)/15 = 180/15 = 12$ .

\boxed{\bar{x} = 12}

3.

$n = 15$ , la médiane est la 8ème valeur ordonnée : $\text{Me} = 13$ .

\boxed{\text{Me} = 13}

4.

$\text{Étendue} = 18 - 4 = 14$ .

\boxed{E = 14}

التمرين 4

Exercice 4 — Loi de Poisson : estimation par moments et MV

#statistics#poisson-distribution#method-of-moments#mle

Soit $(X_1, \ldots, X_n)$ un $n$ -échantillon de loi de Poisson de paramètre $\lambda \gt 0$ inconnu.

Décrire la loi de $X_1$ . Donner son espérance et sa variance.
Proposer un estimateur par la méthode des moments.
Proposer un estimateur par la méthode du maximum de vraisemblance.

◀الحل

1.

$P(X_1 = k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}$ , $k \in \mathbb{N}$ . $E[X_1] = \lambda$ , $\text{Var}(X_1) = \lambda$ .

2.

Par les moments : $E[X] = \lambda$ , donc $\hat{\lambda}_M = \bar{X}$ .

3.

$\ell(\lambda) = -n\lambda + \ln\lambda \sum x_i - \sum \ln(x_i!)$ . $\ell'(\lambda) = -n + \sum x_i / \lambda = 0$ .

\boxed{\hat{\lambda}_{MV} = \bar{X}}

Les deux méthodes donnent le même estimateur.

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