مسابقة دكتوراه 2024 — Université d'Alger 1 – Benyoucef Benkhedda

Soient $k \in \mathbb{N}^*$ et $\varphi \in \mathscr{D}\left(\left]-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right[\right)$ telle que $\varphi^{(k)}(0) > 0$. On considère la suite de fonctions $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$, définie par

$\forall x \in \left]-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right[ \; : \; \varphi_n(x) = \frac{\varphi(nx)}{n^{k - \frac{1}{2}}}.$

1. Vérifier que $\varphi_n \in \mathscr{D}^{k-1}\left(\left]-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right[\right)$ pour tout .

Soient $\Omega$ un domaine borné de $\mathbb{R}^2$, $\Gamma$ la frontière de $\Omega$ de classe $C^1$ et $f \in H^{-1}(\Omega)$. On considère le problème suivant :

$(P) \quad \begin{cases} -\operatorname{div}(A \cdot \nabla u) + 2u = f & \text{dans } \Omega, \\ u = 0 & \text{sur } \Gamma. \end{cases}$

où $A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & 1 \end{pmatrix}$.

1. Montrer que $\forall \xi \in \mathbb{R}^2, \quad A\xi \cdot \xi \geq \frac{7}{12}|\xi|^2 = \frac{7}{12}(\xi_1^2 + \xi_2^2).$