مسابقة دكتوراه 2024 — Université d'Alger 1 – Benyoucef Benkhedda

Soit $F$ une fonction de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^2$ définie par

$F(x, y, z) = \big(f(x, y, z),\ g(x, y, z)\big),$

où $f$ et $g$ sont des fonctions différentiables de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}$. Soit $(x_0, y_0, z_0)$ un point de tel que . On suppose que

$\begin{vmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0, z_0) & \dfrac{\partial f}{\partial z}(x_0, y_0, z_0) \\[2mm] \dfrac{\partial g}{\partial y}(x_0, y_0, z_0) & \dfrac{\partial g}{\partial z}(x_0, y_0, z_0) \end{vmatrix} \neq 0.$

1. Montrer qu'il existe un voisinage $V(x_0)$ de $x_0$ et deux fonctions réelles $\varphi$ et $$ définies et dérivables sur , telles que , et pour tout élément de .

Soit $f : X \to Y$ une fonction continue d'un espace topologique $X$ vers un espace topologique séparé $Y$. Soit $C$ un sous-espace fermé de $Y$, et soit $U$ un voisinage ouvert de $f^{-1}(C)$ dans $X$.

1. Montrer que si $X$ est compact, alors il existe un voisinage ouvert $V$ de $C$ dans $Y$ tel que $f^{-1}(V) \subset U$.