مسابقة دكتوراه 2016 — Université de Ghardaïa — الموضوع 02

Soit $\varphi$ une fonction réelle dérivable sur un intervalle ouvert $I$. Montrer, sans intégration, que

$\left(\forall x\in I,\ \varphi'(x)=0\right)\Longleftrightarrow \varphi\text{ est constante sur }I. ``$

Soit l’équation linéaire homogène d’ordre $2$ :

$ a(x)u''+b(x)u'+c(x)u=0,\qquad u\neq0,

o├╣ $a,b,c$ sont continues sur un intervalle $I$ et $a(x)\neq0$ sur $I$.

En posant

$
y=\frac{u'}{u},

montrer que l’équation est équivalente à une équation de Riccati, c’est-à-dire une équation de la forme

$ \widetilde a(x)y'+\widetilde b(x)y+\widetilde c(x)y^2=f(x).

Application : trouver une solution particulière évidente de l’équation linéaire dans le cas

$
a(x)=x^2,\qquad b(x)=-x,\qquad c(x)=1.

Écrire ensuite l’équation de Riccati correspondante et la résoudre.

1. Énoncer le théorème de représentation de Riesz.

2. Énoncer le théorème d’Ascoli.

3. Donner les conditions de Cauchy pour quΓÇÖune fonction soit holomorphe.

4. Énoncer un théorème du point fixe.

5. Donner un exemple dΓÇÖune tribu qui nΓÇÖest pas une topologie.