مسابقة دكتوراه 2019 — Université des Sciences et de la Technologie d'Oran (USTO) — الموضوع 02

Soit $T$ la forme linéaire définie sur $C_0^\infty(\mathbb{R})$ par

$$\langle T,\varphi\rangle = \lim_{\varepsilon\to0} \int_{|x|\geq\varepsilon} \frac{\varphi(x)}{x}\,dx.$$

1. Montrer que $T$ est une distribution sur $\mathbb{R}$ d'ordre inférieur ou égal à $1$.

Indication. Utiliser la formule de Taylor

$$\varphi(x)=\varphi(0)+x\psi(x),$$

où

$$\psi(x)=\int_0^1 \varphi'(tx)\,dt,$$

et le fait que, pour tout compact $K\subset\mathbb{R}$, il existe $M>0$ tel que

$$K\subset[-M,M].$$

2. Montrer que $T$ est d'ordre exactement $1$, c'est-à-dire

$$T\in\mathcal{D}'^{(1)}(\mathbb{R}) \quad\text{et}\quad T\notin\mathcal{D}'^{(0)}(\mathbb{R}).$$

Indication. Procéder par l'absurde et considérer une suite $(\varphi_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset C_0^\infty(\mathbb{R})$ telle que

$$0\leq\varphi_n\leq1,$$ $$\varphi_n=1 \quad\text{sur}\quad \left[\frac{1}{n},1\right],$$

et

$$\operatorname{supp}(\varphi_n) \subset \left[\frac{1}{2n},2\right].$$

On considère le problème $(P)$ suivant :

$$\begin{cases} \displaystyle \min_{(s,y)\in\mathbb{R}^2} s,\\[1ex] y+s\geq\dfrac{3}{4},\\ -y+s\geq0,\\ s\geq0. \end{cases}$$

On associe respectivement les multiplicateurs de Lagrange $\lambda_1$, $\lambda_2$ et $\lambda_3$ à la première, deuxième et troisième contrainte du problème $(P)$.

1. Écrire les conditions d'optimalité de Karush--Kuhn--Tucker associées à ce problème.

2. On s'intéresse maintenant à la résolution des conditions de Karush--Kuhn--Tucker.

   a. Est-il possible d'avoir

   $$s=0$$

   dans le problème $(P)$ ? En déduire la valeur de $\lambda_3$.

   b. Déterminer alors les valeurs de $\lambda_1$ et $\lambda_2$.

   c. En utilisant les conditions de complémentarité, en déduire la solution du problème $(P)$.

3. Écrire la fonction duale

$$q(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$$

relative au problème $(P)$.

4. Donner le problème dual $(D)$ associé au problème $(P)$.

5. Évaluer la fonction duale $q$ au point trouvé à la question 2.

En déduire que ce point est solution du problème dual.

1. Montrer que

$$\forall\,\psi\in C_0^\infty(\mathbb{R}), \quad \psi(0)=0 \Longrightarrow \exists\,\phi\in C_0^\infty(\mathbb{R}) \text{ tel que } \psi=x\phi.$$

Indication. Utiliser la formule de Taylor

$$\psi(x) = \psi(0) + x\int_0^1 \psi'(tx)\,dt.$$

2. Soit $T$ une distribution sur $\mathbb{R}$ telle que

$$xT=0.$$

Montrer qu'il existe une constante $C\in\mathbb{C}$ telle que

$$T=C\delta,$$

où $\delta$ désigne la distribution de Dirac.

Indication. Considérer une fonction

$$\theta\in C_0^\infty(\mathbb{R})$$

telle que

$$\theta=1 \quad\text{sur un voisinage de }0,$$

et, pour tout

$$\varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R}),$$

poser

$$\psi=\varphi-\varphi(0)\theta.$$