مسابقة دكتوراه 2022 — Université des Sciences et de la Technologie d'Oran (USTO) — الموضوع 01

1. Soient $H$ un espace de Hilbert complexe et $A$ un opérateur borné sur $H$.

a) Montrer que $A = T + iS$ avec $T$, $S$ deux opérateurs auto-adjoints si et seulement si

$$T = \frac{1}{2}(A + A^*) \quad \text{et} \quad S = \frac{1}{2i}(A - A^*).$$

b) Montrer que si $A$ est normal, alors $TS = ST$.

2. Soient $E = \ell^2(\mathbb{C}) = \{x = (x_n)_{n \geq 0} \subset \mathbb{C} : \sum_{n \geq 0} |x_n|^2 < +\infty\}$ et l'opérateur borné $U$ sur $E$ tel que :

$$U(x) = (2x_1, x_2, 2x_3, x_4, 2x_5, \ldots, \alpha_n x_n, \ldots) \quad \forall x = (x_n)_{n \geq 0} \in E$$

où $\alpha_n = 1$ si $n$ est pair et $\alpha_n = 2$ si $n$ est impair.

a) Montrer que tout $\lambda \in \mathbb{C}$ tel que $|\lambda| < \sqrt{2}$ est une valeur propre de $U$.

b) En déduire $\sigma_p(U)$ ; où $\sigma_p(U)$ est le spectre ponctuel de $U$.

a) Démontrer que la fonction $\log|x|$ est localement intégrable sur $\mathbb{R}$.

b) Calculer sa dérivée au sens des distributions.

Définition : Pour toute fonction et tout $\varepsilon > 0$, on définit une application sur $\mathbb{R}$ en posant

$$\left\langle vp\frac{1}{x}, \varphi \right\rangle = \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{|x| \geq \varepsilon} \frac{\varphi(x)}{x} \, dx.$$

1. Soit $f$ une fonction continue sur $\overline{D(a,r)}$, $(a \in \mathbb{C}, r > 0)$, harmonique sur $D(a,r)$ et à valeur complexe. Alors on a

$$f(a) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(a + re^{it}) \, dt$$

2. Soient $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{C}$ et $f : \Omega \to \mathbb{C}$ une fonction harmonique.

• Montrer que si $g : \Omega \to \mathbb{C}$ définie par $g(z) = zf(z)$ est harmonique alors $f$ est analytique sur $\Omega$.

3. Soient $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{C}$ et une fonction holomorphe $h \in \text{Hol}(\Omega)$ ne s'annulant pas sur $\Omega$.

• Montrer que $\log|h|$ est harmonique en calculant son laplacien.