📚 الرئيسية
دخول

مسابقة دكتوراه 2012 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 05

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle · المدة: 2سا

⬇️ تحميل☆ حفظ✓ تم الحل

Concours d'accès au Doctorat LMD, Spécialité EDP, Épreuve 1 (durée 2h) — Faculté de Mathématiques, USTHB, Laboratoire AMNEDP — 02 Décembre 2012.

التمرين 1

Exercice 1 — Norme sur $C([0,1],\mathbb{R})$ et opérateur intégral $\Phi$

#normed-space#integral-operator#operator-norm#banach-space

Soit E=C([0,1],R)E = C([0,1], \mathbb{R}) l'espace des fonctions continues sur [0,1][0,1] à valeurs réelles. Pour f∈Ef \in E, on pose :

∥f∥1=∫01∣f(t)∣ dt\|f\|_1 = \int_0^1 |f(t)|\, dt

  1. Montrer que l'on définit ainsi une norme sur EE. On munit EE de cette norme. On considère l'application Φ\Phi définie sur EE par :

Φ(f)(x)=∫0xf(t) dt\Phi(f)(x) = \int_0^x f(t)\,dt

  1. Montrer que Φ(f)\Phi(f) est dans EE.
  2. Montrer que Φ\Phi est linéaire continue et ∥Φ∥L(E)≤1\|\Phi\|_{\mathcal{L}(E)} \leq 1, où

∥Φ∥L(E)=sup⁡f∈E, f≠0∥Φ(f)∥1∥f∥1=sup⁡f∈E, ∥f∥1≤1∥Φ(f)∥1.\|\Phi\|_{\mathcal{L}(E)} = \sup_{f \in E,\, f \neq 0} \frac{\|\Phi(f)\|_1}{\|f\|_1} = \sup_{f \in E,\, \|f\|_1 \leq 1} \|\Phi(f)\|_1.

  1. Pour n≥0n \geq 0, on considère fnf_n, l'élément de EE défini par :

fn(x)=ne−nx,x∈[0,1].f_n(x) = ne^{-nx},\quad x \in [0,1].

Calculer ∥fn∥1\|f_n\|_1 et ∥Φ(fn)∥1\|\Phi(f_n)\|_1. En déduire ∥Φ∥L(E)\|\Phi\|_{\mathcal{L}(E)}.

◀الحل

1. ∥⋅∥1\|\cdot\|_1 est une norme

Séparation : ∥f∥1=0⇒∣f(t)∣=0\|f\|_1 = 0 \Rightarrow |f(t)| = 0 p.p., et ff continue ⇒f≡0\Rightarrow f \equiv 0. Homogénéité : ∥λf∥1=∣λ∣ ∥f∥1\|\lambda f\|_1 = |\lambda|\,\|f\|_1. Inégalité triangulaire : ∥f+g∥1≤∥f∥1+∥g∥1\|f+g\|_1 \leq \|f\|_1 + \|g\|_1 (par ∣f+g∣≤∣f∣+∣g∣|f+g| \leq |f|+|g| sous l'intégrale).

2. Φ(f)∈E\Phi(f) \in E

Par le théorème fondamental du calcul, x↦∫0xf(t) dtx \mapsto \int_0^x f(t)\,dt est dérivable (donc continue) sur [0,1][0,1], d'où Φ(f)∈E\Phi(f) \in E.

3. Linéarité et continuité de Φ\Phi

Linéarité : immédiate par linéarité de l'intégrale. Continuité :

∥Φ(f)∥1=∫01∣∫0xf(t) dt∣dx≤∫01∫0x∣f(t)∣ dt dx≤∫01∥f∥1 dx=∥f∥1.\|\Phi(f)\|_1 = \int_0^1 \left|\int_0^x f(t)\,dt\right|dx \leq \int_0^1 \int_0^x |f(t)|\,dt\,dx \leq \int_0^1 \|f\|_1\,dx = \|f\|_1.

Donc ∥Φ∥L(E)≤1\|\Phi\|_{\mathcal{L}(E)} \leq 1.

4. Calcul avec fn(x)=ne−nxf_n(x) = ne^{-nx}

∥fn∥1=∫01ne−nt dt=[−e−nt]01=1−e−n.\|f_n\|_1 = \int_0^1 ne^{-nt}\,dt = \left[-e^{-nt}\right]_0^1 = 1 - e^{-n}.

Φ(fn)(x)=∫0xne−nt dt=1−e−nx.\Phi(f_n)(x) = \int_0^x ne^{-nt}\,dt = 1 - e^{-nx}.

∥Φ(fn)∥1=∫01(1−e−nx) dx=1−1−e−nn.\|\Phi(f_n)\|_1 = \int_0^1 (1-e^{-nx})\,dx = 1 - \frac{1-e^{-n}}{n}.

∥Φ(fn)∥1∥fn∥1=1−1−e−nn1−e−n→n→+∞1.\frac{\|\Phi(f_n)\|_1}{\|f_n\|_1} = \frac{1 - \frac{1-e^{-n}}{n}}{1-e^{-n}} \xrightarrow{n\to+\infty} 1.

Comme ∥Φ∥L(E)≤1\|\Phi\|_{\mathcal{L}(E)} \leq 1 et cette suite tend vers 11, on conclut :

∥Φ∥L(E)=1.\boxed{\|\Phi\|_{\mathcal{L}(E)} = 1.}

التمرين 2

Exercice 2 — Produit scalaire sur $H$ et non-complétude (espace préhilbertien)

#hilbert-space#inner-product#completeness#cauchy-sequence

Soit HH, l'espace des fonctions numériques continues sur ]0,+∞[]0,+\infty[, telles que ∫0+∞∣f(t)∣2 dt<+∞\int_0^{+\infty} |f(t)|^2\,dt \lt +\infty.

  1. (6 pts) Montrer que l'application définie de H×HH \times H à valeurs dans R\mathbb{R} par :

(f,g)↦⟨f,g⟩=∫0+∞f(t)g(t) dt(f,g) \mapsto \langle f,g\rangle = \int_0^{+\infty} f(t)g(t)\,dt

est un produit scalaire.

  1. (6 pts) En utilisant la suite de fonctions :

fn(t)={1,si 0<t<1−1n−nt+n,si 1−1n≤t≤10,si t≥1f_n(t) = \begin{cases} 1, & \text{si } 0 \lt t \lt 1 - \dfrac{1}{n} \\\\ -nt + n, & \text{si } 1 - \dfrac{1}{n} \leq t \leq 1 \\\\ 0, & \text{si } t \geq 1 \end{cases}

montrer que HH muni de la norme ∥f∥=(∫0+∞∣f(t)∣2 dt)1/2\|f\| = \left(\int_0^{+\infty}|f(t)|^2\,dt\right)^{1/2} n'est pas complet.

◀الحل

1. ⟨⋅,⋅⟩\langle \cdot,\cdot\rangle est un produit scalaire

Bilinéarité : par linéarité de l'intégrale. Symétrie : ⟨f,g⟩=⟨g,f⟩\langle f,g\rangle = \langle g,f\rangle. Bonne définition : Par Cauchy-Schwarz, ∣⟨f,g⟩∣≤∥f∥ ∥g∥<+∞|\langle f,g\rangle| \leq \|f\|\,\|g\| \lt +\infty pour f,g∈Hf,g \in H. Définie positive : ⟨f,f⟩=∫0+∞∣f∣2 dt≥0\langle f,f\rangle = \int_0^{+\infty}|f|^2\,dt \geq 0, et =0⇔f=0= 0 \Leftrightarrow f = 0 p.p., donc f=0f = 0 par continuité.

Donc ⟨⋅,⋅⟩\langle \cdot,\cdot\rangle est un produit scalaire sur HH.

2. HH n'est pas complet

Chaque fnf_n est continue sur ]0,+∞[]0,+\infty[ et à support compact, donc fn∈Hf_n \in H.

Pour n≥m≥2n \geq m \geq 2 :

∥fn−fm∥2=∫1−1/m1∣fn(t)−fm(t)∣2 dt≤2m→0.\|f_n - f_m\|^2 = \int_{1-1/m}^{1} |f_n(t)-f_m(t)|^2\,dt \leq \frac{2}{m} \to 0.

Donc (fn)(f_n) est de Cauchy dans HH. Mais sa limite dans L2L^2 est f∗=1[0,1[f^* = \mathbf{1}_{[0,1[}, qui est discontinue en t=1t = 1 et donc f∗∉Hf^* \notin H.

Ainsi (fn)(f_n) est une suite de Cauchy dans HH sans limite dans HH :

H n’est pas complet : c’est un espace preˊhilbertien.\boxed{H \text{ n'est pas complet : c'est un espace préhilbertien.}}

→السابقConcours Doctorat 2012 — Université Abderrahmane Mira - Béjaïa — Épreuve N°04التاليConcours Doctorat 2012 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — Épreuve N°06←