مسابقة دكتوراه 2012 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 06

مسابقة تخصص · Recherche Opérationnelle · المدة: 2سا

Concours d’accès à la Formation Doctorale Recherche Opérationnelle et Mathématiques Discrètes, sujet n°2, épreuve de Recherche Opérationnelle, USTHB, Faculté de Mathématiques, 25 novembre 2012, durée 2h.

التمرين 1

Exercice 1 — Station-service M/M/1

#queueing-theory#mm1-queue#little-law

Des camions arrivent selon un processus de Poisson de taux $6$ par jour. La durée du test est exponentielle de moyenne $1$ h $30$ min.

Calculer la longueur moyenne de la file en régime permanent.
Choisir la bonne réponse parmi

\frac7{40},\quad\frac9{40},\quad\frac{11}{40},\quad\frac{13}{40},\quad\frac{17}{40}.

◀الحل

1.

\lambda=\frac14, \qquad \mu=\frac23, \qquad \rho=\frac38.

\boxed{L_q=\frac{\rho^2}{1-\rho}=\frac9{40}}

التمرين 2

Exercice 2 — Relation entre N et la file dans M/M/2

#queueing-theory#mm2-queue#expectation

Dans un système $M/M/2$ stationnaire, $\overline Q$ est la longueur moyenne de la file, $\overline N$ le nombre moyen dans le système et $p_k$ la probabilité d’avoir $k$ individus.

Exprimer $\overline Q$ en fonction de $\overline N$ , $p_0$ et $p_1$ .
Identifier la bonne proposition du QCM.

◀الحل

1.

Le nombre moyen en service est $2-2p_0-p_1$ .

\boxed{\overline Q=\overline N-2+2p_0+p_1}

التمرين 3

Exercice 3 — Cabinet médical avec capacité finie

#finite-capacity-queue#birth-death-process#blocking-probability

Les patients arrivent selon un processus de Poisson de taux $5$ par heure. La durée du traitement est exponentielle de moyenne $10$ minutes. La salle d’attente possède une seule place.

Modéliser le système comme une file $M/M/1/2$ .
Calculer la probabilité qu’un arrivant soit admis.

◀الحل

1.

\lambda=5, \qquad \mu=6, \qquad \rho=\frac56.

2.

p_2=\frac{(5/6)^2}{1+5/6+25/36}=\frac{25}{91}.

\boxed{\mathbb{P}(\text{admission})=\frac{66}{91}}

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