مسابقة دكتوراه 2014 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 02

مسابقة تخصص · Algèbre · المدة: 2سا

Concours Cycle D Maths Fondamentales et Cryptographie 2014-15, Épreuve de Géométrie, Faculté de Mathématiques, USTHB, 13 octobre 2014, durée 2h.

التمرين 1

Exercice 1 — Variétés de dimension 6 non difféomorphes

#differential-topology#cohomology-ring#manifolds

Montrer que les variétés différentiables de dimension 6, $S^2\times S^4$ et $\mathbb{CP}^3$ , ne sont pas difféomorphes.

◀الحل

On compare les anneaux de cohomologie : dans $\mathbb{CP}^3$ , $H^*=\mathbb{Z}[a]/(a^4)$ avec $a^2\ne0$ ; dans $S^2\times S^4$ le générateur $\alpha$ de $H^2$ vérifie $\alpha^2=0$ . $\boxed{\text{anneaux non isomorphes}\Rightarrow\text{non difféomorphes}}$

التمرين 2

Exercice 2 — Formes symplectiques sur une variété compacte

#symplectic-geometry#de-rham-cohomology#orientability

Soit $M$ de dimension $2n$ . Une 2-forme $\omega$ est non dégénérée si $\omega^n$ est non nulle partout ; symplectique si de plus $d\omega=0$ . $M$ compacte admet une 2-forme non dégénérée $\omega$ .

Montrer que $M$ est orientable. 2. Montrer que $\int_M \omega^n\ne0$ . 3. ( $\omega$ symplectique) Montrer que $H^{2k}(M)\ne0$ , $\forall k\in\{0,\dots,n\}$ . 4. Pour quels $n\ge1$ existe-t-il une 2-forme symplectique sur $S^n$ ?

◀الحل

1-2. $\omega^n$ est une forme volume : $M$ orientable et $\int_M\omega^n\ne0$ . 3. $[\omega]^k\ne0$ dans $H^{2k}$ car $[\omega]^n\ne0$ . 4. $H^2(S^n)=0$ sauf $n=2$ : $\boxed{\text{seule } S^2}$ .

التمرين 3

Exercice 3 — Exponentielle complexe, groupe fondamental et revêtements

#algebraic-topology#fundamental-group#covering-spaces

Soit $a\gt0$ .

Image de la bande $\{0\le x\le a\}$ par l'exponentielle $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ ?
Groupe fondamental de la couronne $A=\{(x,y)\ /\ 1\le x^2+y^2\le4\}$ .
Revêtement universel de $A$ , son groupe d'automorphismes, et tous les revêtements connexes de $A$ .

◀الحل

$\exp(x+iy)=e^xe^{iy}$ : couronne $\{1\le|w|\le e^a\}$ . 2. $A\simeq S^1$ donc $\pi_1(A)=\mathbb{Z}$ . 3. Revêtement universel : bande $\mathbb{R}\times[1,2]$ , automorphismes $\mathbb{Z}$ ; revêtements connexes indexés par $n\mathbb{Z}$ plus l'universel.

التمرين 4

Exercice 4 — Fibration de Hopf

#hopf-fibration#fiber-bundles#homotopy-groups

Soit la projection $\mathbb{C}^2-\{0\}\to \mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ et sa restriction $p:S^3\to \mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ . Vérifier que toutes les fibres de $p$ sont des cercles mais que $S^3$ n'est pas homéomorphe à $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})\times S^1$ .

◀الحل

Fibre au-dessus de $[v]$ : cercle unité de la droite $\mathbb{C}v$ . Comme $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})=S^2$ , $\boxed{\pi_1(S^2\times S^1)=\mathbb{Z}\ne0=\pi_1(S^3)}$ , donc non homéomorphes (fibration de Hopf non triviale).

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