مسابقة دكتوراه 2014 — Université Mohamed Khider

التمرين 1

Exercice 1 — Inégalité $L^p$ pour l'espérance conditionnelle et propriétés avancées

#conditional-expectation#Lp-spaces#projection#independence

Soient $(\Omega, F, P)$ un espace de probabilité et $\mathcal{G}$ une sous-tribu de $\mathcal{F}$ .

Montrer que pour toute variable aléatoire $Y \in L^p(\Omega, \mathcal{F}, P)$ , et pour tout $p \geq 1$ : $\|E(Y/\mathcal{G})\|_{L^p} \leq \|Y\|_{L^p}$
En déduire que l'application $\varphi : L^p(\Omega, \mathcal{F}, P) \to L^p(\Omega, \mathcal{G}, P)$ définie par $\varphi(Y) = E(Y/\mathcal{G})$ est un opérateur linéaire continu de norme 1, tel que $\varphi \circ \varphi = \varphi$ .
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires de carrés intégrables définies sur un espace de probabilité $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ et $\mathcal{F}$ une sous-tribu de $\mathcal{A}$ . On suppose que $E(Y^2/\mathcal{F}) = X^2$ P-p.s et $E(Y/\mathcal{F}) = X$ , P-p.s. Montrer que $Y = X$ , P-p.s.
Soit $Y$ une variable aléatoire de $L^1(\Omega, \mathcal{A}, P)$ indépendante de $\mathcal{F}$ . Montrer que $E(Y/\mathcal{F}) = E(Y)$ , P-p.s.

◀الحل

1.

Inégalité de Jensen conditionnelle : $|E(Y/\mathcal{G})|^p \leq E(|Y|^p/\mathcal{G})$ . En prenant l'espérance : $\|E(Y/\mathcal{G})\|_{L^p}^p \leq \|Y\|_{L^p}^p$ .

2.

Linéarité : immédiate. Norme ≤ 1 : par la question 1. Norme = 1 : atteinte sur les $\mathcal{G}$ -mesurables. Idempotence : $E(E(Y/\mathcal{G})/\mathcal{G}) = E(Y/\mathcal{G})$ (tour).

3.

$E[(X-Y)^2/\mathcal{F}] = E[X^2/\mathcal{F}] - 2XE[Y/\mathcal{F}] + E[Y^2/\mathcal{F}]$ ... Hmm, plus directement : $E[(Y-X)^2] = E[E[(Y-X)^2/\mathcal{F}]] = E[E[Y^2/\mathcal{F}] - 2X \cdot E[Y/\mathcal{F}] + X^2] = E[X^2 - 2X^2 + X^2] = 0$ . Donc $Y = X$ p.s.

4.

Pour tout $A \in \mathcal{F}$ : $E[1_A \cdot Y] = E[1_A]E[Y] = E[1_A \cdot E(Y)]$ (indépendance). Donc $E(Y/\mathcal{F}) = E(Y)$ p.s.

التمرين 3

Exercice 3 — Densité de la somme d'une variable continue et d'une variable discrète

#density#mixture#sum-of-variables#independence

Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f_X$ et soit $Y$ une variable aléatoire discrète prenant les valeurs $y_1, y_2, ..., y_n$ avec les probabilités $p_1, p_2, ..., p_n$ . Montrer que si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $Z = X + Y$ admet une densité de probabilité et calculer cette dernière.

◀الحل

Pour tout borélien $B$ : $P(Z \in B) = \sum_{j=1}^n P(X + y_j \in B) \cdot p_j = \sum_{j=1}^n p_j \int_B f_X(z - y_j) dz = \int_B \sum_{j=1}^n p_j f_X(z - y_j)\, dz$

Donc $Z$ admet la densité :

$\boxed{f_Z(z) = \sum_{j=1}^n p_j f_X(z - y_j)}$