مسابقة دكتوراه 2015 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 02

a. i.

Avec la convention $\theta_0=-1$, on écrit $X_t = -\sum_{j=0}^{q}\theta_j\epsilon_{t-j}$. Le processus est centré, donc pour $\tau\geq 0$ :

$s_\tau = \mathrm{cov}(X_t, X_{t+\tau}) = E[X_t X_{t+\tau}] = \sum_{j=0}^{q}\sum_{k=0}^{q}\theta_j\theta_k\,E[\epsilon_{t-j}\epsilon_{t+\tau-k}]$

Comme $\{\epsilon_t\}$ est un bruit blanc, $E[\epsilon_{t-j}\epsilon_{t+\tau-k}]=\sigma_\epsilon^2$ si $t-j=t+\tau-k$, c'est-à-dire $k=j+\tau$, et $0$ sinon. Il ne reste que les termes $k=j+\tau$, avec les contraintes $0\leq j\leq q$ et $0\leq j+\tau\leq q$, soit $0\leq j\leq q-\tau$ :

$s_\tau = \sigma_\epsilon^2\sum_{j=0}^{q-\tau}\theta_j\theta_{j+\tau}, \qquad 0\leq \tau\leq q.$

Si $\tau\gt q$, aucune paire d'indices ne coïncide et $s_\tau=0$. Par symétrie $s_{-\tau}=s_\tau$, d'où

$\boxed{\ s_\tau = \sigma_\epsilon^2\sum_{j=0}^{q-|\tau|}\theta_j\theta_{j+|\tau|}\ \ (|\tau|\leq q),\qquad s_\tau = 0\ \ (|\tau|\gt q)\ }$

autrement dit $s_\tau = \sigma_\epsilon^2\sum_{j=0}^{q-|\tau|}\theta_j\theta_{j+|\tau|}$ pour $|\tau|\leq q$ et $s_\tau=0$ pour $|\tau|\gt q$.

a. ii.

Ici $q=2$, $\theta_1=0$, $\theta_2=0.8$. Les autocovariances valent :

$s_0 = \sigma_\epsilon^2(1+\theta_2^2), \qquad s_1 = 0, \qquad s_2 = -\theta_2\sigma_\epsilon^2, \qquad s_\tau=0\ \text{pour}\ |\tau|\geq 3.$

Pour la moyenne de $n=4$ observations :

$\mathrm{var}(\bar{X}) = \frac{1}{16}\sum_{i=1}^{4}\sum_{k=1}^{4}s_{i-k} = \frac{1}{16}\Big(4s_0 + 2\cdot 3\,s_1 + 2\cdot 2\,s_2 + 2\cdot 1\,s_3\Big).$

En remplaçant :

$\mathrm{var}(\bar{X}) = \frac{1}{16}\Big(4\sigma_\epsilon^2(1+\theta_2^2) - 4\theta_2\sigma_\epsilon^2\Big) = \frac{\sigma_\epsilon^2}{4}\big(1+\theta_2^2-\theta_2\big).$

Avec $\theta_2=0.8$ : $1+0.64-0.8=0.84$, donc

$\boxed{\ \mathrm{var}(\bar{X}) = \frac{0.84}{4}\,\sigma_\epsilon^2 = 0.21\,\sigma_\epsilon^2\ }$

b. i.

$Y_t=\epsilon_t\cos(ct)+\epsilon_{t-1}\sin(ct)$ est centré. On calcule $s_\tau=E[Y_tY_{t+\tau}]$ en utilisant $E[\epsilon_a\epsilon_b]=\sigma_\epsilon^2\mathbf{1}_{a=b}$.

Pour $\tau=0$ :

$\mathrm{var}(Y_t) = \sigma_\epsilon^2\cos^2(ct)+\sigma_\epsilon^2\sin^2(ct) = \sigma_\epsilon^2.$

Pour $\tau=1$ : $Y_{t+1}=\epsilon_{t+1}\cos(c(t+1))+\epsilon_t\sin(c(t+1))$. Le seul indice commun est $\epsilon_t$ :

$\mathrm{cov}(Y_t,Y_{t+1}) = \sigma_\epsilon^2\cos(ct)\sin\big(c(t+1)\big).$

Pour $|\tau|\geq 2$ : aucun indice de bruit commun, donc $\mathrm{cov}(Y_t,Y_{t+\tau})=0$.

$\boxed{\ s_0=\sigma_\epsilon^2,\quad s_1=\sigma_\epsilon^2\cos(ct)\sin\!\big(c(t+1)\big),\quad s_\tau=0\ (|\tau|\geq 2)\ }$

b. ii.

La variance $s_0=\sigma_\epsilon^2$ est déjà constante. Pour que $Y_t$ soit stationnaire (au second ordre), il faut que $s_1$ ne dépende pas de $t$. Or

$\cos(ct)\sin\big(c(t+1)\big) = \tfrac12\Big[\sin\big(c(2t+1)\big) + \sin(c)\Big].$

Le terme $\sin\big(c(2t+1)\big)$ doit être constant pour tout entier $t$, ce qui exige $2c\equiv 0\ [2\pi]$, soit $c=k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. Comme $c\neq 0$ :

$\boxed{\ c = k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}^{*}\ }$

En effet, pour $c=k\pi$ on a $\sin\big(c(2t+1)\big)=0$ et $\sin(c)=0$, donc $s_1=0$ et toutes les autocovariances deviennent indépendantes de $t$ : le processus est alors stationnaire.

a. i.

$\{X_t\}_{t\geq 0}$ est un processus de naissance et de mort sur $\{0,1,2,\dots\}$ si c'est une chaîne de Markov à temps continu telle que, quand $X_t=n$, sur l'intervalle $(t,t+\delta)$ : a. $P(X_{t+\delta}=n+1\mid X_t=n) = \lambda_n\delta + o(\delta)$ (une naissance) ; b. $P(X_{t+\delta}=n-1\mid X_t=n) = \mu_n\delta + o(\delta)$ (une mort), avec $\mu_0=0$ ; c. $P(X_{t+\delta}=n\mid X_t=n) = 1-(\lambda_n+\mu_n)\delta + o(\delta)$ ; d. $P(|X_{t+\delta}-n|\geq 2\mid X_t=n) = o(\delta)$ (pas de saut multiple).

a. ii.

Le générateur $G=(g_{ij})$ est tridiagonal : $g_{n,n+1}=\lambda_n$, $g_{n,n-1}=\mu_n$, $g_{n,n}=-(\lambda_n+\mu_n)$, et $g_{ij}=0$ sinon. Par lignes :

$\text{ligne }0 : \big(-\lambda_0,\ \lambda_0,\ 0,\ 0,\ \dots\big)$ $\text{ligne }n\ (n\geq 1) : \big(\dots,\ 0,\ \mu_n,\ -(\lambda_n+\mu_n),\ \lambda_n,\ 0,\ \dots\big)$

a. iii.

La loi stationnaire $\pi$ vérifie $\pi G = 0$. La colonne $0$ donne $-\lambda_0\pi_0 + \mu_1\pi_1 = 0$, soit $\pi_1 = \dfrac{\lambda_0}{\mu_1}\pi_0$ (équilibre local). La colonne $n\geq 1$ donne

$\lambda_{n-1}\pi_{n-1} - (\lambda_n+\mu_n)\pi_n + \mu_{n+1}\pi_{n+1} = 0.$

Récurrence forte. Supposons l'équilibre local $\mu_n\pi_n = \lambda_{n-1}\pi_{n-1}$ vrai jusqu'au rang $n$. En le reportant dans l'équation ci-dessus, les termes $\lambda_{n-1}\pi_{n-1}$ et $\mu_n\pi_n$ se simplifient et il reste $\mu_{n+1}\pi_{n+1} = \lambda_n\pi_n$, c'est-à-dire l'équilibre local au rang $n+1$. L'hypothèse est donc héréditaire, et par récurrence

$\pi_{n} = \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_n}\,\pi_{n-1} = \dots = \pi_0\prod_{i=0}^{n-1}\frac{\lambda_i}{\mu_{i+1}}.$

Ce qui, avec la convention d'indexation de l'énoncé, s'écrit

$\boxed{\ \pi_n = \frac{\lambda_0\lambda_1\cdots\lambda_{n-1}}{\mu_1\mu_2\cdots\mu_n}\,\pi_0\ }$

$\pi_0$ étant fixé par la normalisation $\sum_{n\geq 0}\pi_n = 1$.

b. i.

Le compte $N_t$ augmente de $+1$ (bonne transaction) au taux $\lambda_n = e^{\gamma n}$ et diminue de $-1$ (mauvaise transaction) au taux $\mu_n = e^{\gamma n}$ pour $n\geq 1$, avec $\mu_0=0$ (aucune mauvaise transaction possible en $0$). C'est donc un processus de naissance et de mort sur $\{0,1,2,\dots\}$.

L'équilibre local donne

$\pi_{n+1} = \frac{\lambda_n}{\mu_{n+1}}\pi_n = \frac{e^{\gamma n}}{e^{\gamma(n+1)}}\pi_n = e^{-\gamma}\pi_n \ \Longrightarrow\ \pi_n = \pi_0\,e^{-\gamma n}.$

C'est une loi géométrique de raison $e^{-\gamma}$. La normalisation $\sum_{n\geq 0}\pi_0 e^{-\gamma n} = \dfrac{\pi_0}{1-e^{-\gamma}} = 1$ donne $\pi_0 = 1-e^{-\gamma}$. Alors

$E(N\mid\gamma) = \sum_{n=0}^{\infty} n\pi_n = (1-e^{-\gamma})\sum_{n=0}^{\infty} n\,e^{-\gamma n} = (1-e^{-\gamma})\,\frac{e^{-\gamma}}{(1-e^{-\gamma})^2}.$

$\boxed{\ E(N\mid\gamma) = \frac{e^{-\gamma}}{1-e^{-\gamma}} = \frac{1}{e^{\gamma}-1}\ }$

b. ii.

Si $\gamma\sim\mathcal{U}[\alpha,\beta]$, par la formule de l'espérance totale :

$E(N) = \frac{1}{\beta-\alpha}\int_{\alpha}^{\beta}\frac{e^{-\gamma}}{1-e^{-\gamma}}\,d\gamma.$

Le changement $u=1-e^{-\gamma}$, $du=e^{-\gamma}d\gamma$, donne $\displaystyle\int\frac{e^{-\gamma}}{1-e^{-\gamma}}d\gamma = \ln(1-e^{-\gamma})$, d'où

$\boxed{\ E(N) = \frac{1}{\beta-\alpha}\,\ln\!\left(\frac{1-e^{-\beta}}{1-e^{-\alpha}}\right)\ }$

a.

Un processus de comptage $\{N_t\}_{t\geq 0}$ (à valeurs entières, non décroissant) est un processus de naissance de taux $\{\lambda_n\}$ si, quand $N_t=n$, sur $(t,t+\delta)$ :

$P(N_{t+\delta}=n+1\mid N_t=n) = \lambda_n\delta + o(\delta),$ $P(N_{t+\delta}=n\mid N_t=n) = 1-\lambda_n\delta + o(\delta),$ $P(N_{t+\delta}=n+m\mid N_t=n) = o(\delta)\quad (m\geq 2).$

Les accroissements sur des intervalles disjoints sont indépendants et un seul saut (de $+1$) peut survenir sur un intervalle infinitésimal.

b.

En conditionnant sur l'état à l'instant $t$ et en utilisant l'indépendance sur $(t,t+\delta)$ :

$p_n(t+\delta) = p_n(t)\big(1-\lambda_n\delta\big) + p_{n-1}(t)\,\lambda_{n-1}\delta + o(\delta).$

En réarrangeant et en divisant par $\delta$ :

$\frac{p_n(t+\delta)-p_n(t)}{\delta} = -\lambda_n p_n(t) + \lambda_{n-1}p_{n-1}(t) + o(1).$

En faisant $\delta\to 0$ on obtient, pour $n\geq 1$, $p_n'(t) = -\lambda_n p_n(t)+\lambda_{n-1}p_{n-1}(t)$, et pour $n=0$ (aucune arrivée possible en dessous de $0$) $p_0'(t) = -\lambda_0 p_0(t)$.

$\boxed{\ p_n'(t) = -\lambda_n p_n(t)+\lambda_{n-1}p_{n-1}(t)\ (n\geq 1),\qquad p_0'(t) = -\lambda_0 p_0(t)\ }$

c.

Avec $\lambda_n = n\lambda$ et $G(s,t)=\sum_{n\geq 1}s^n p_n(t)$ :

$\frac{\partial G}{\partial t} = \sum_{n\geq 1} s^n p_n'(t) = \sum_{n\geq 1} s^n\big[-n\lambda p_n(t) + (n-1)\lambda p_{n-1}(t)\big].$

Or $\displaystyle\sum_{n\geq 1} n s^n p_n = s\frac{\partial G}{\partial s}$, et en posant $m=n-1$ :

$\sum_{n\geq 1}(n-1)s^n p_{n-1} = \sum_{m\geq 0} m\,s^{m+1}p_m = s^2\sum_{m\geq 0} m s^{m-1}p_m = s^2\frac{\partial G}{\partial s}.$

Donc

$\frac{\partial G}{\partial t} = -\lambda s\frac{\partial G}{\partial s} + \lambda s^2\frac{\partial G}{\partial s} = \boxed{\ \lambda s(s-1)\frac{\partial G}{\partial s}\ }$

d.

Posons $a=e^{-\lambda t}$ (donc $a'=-\lambda a$) et $D=1-(1-a)s$, de sorte que $G=\dfrac{sa}{D}$. On vérifie d'abord la condition initiale : à $t=0$, $a=1$, $D=1$ et $G(s,0)=s$, ce qui correspond à $N_0=1$ (i.e. $p_1(0)=1$).

Dérivée en $t$ (avec $\partial_t D = a's$) :

$\frac{\partial G}{\partial t} = \frac{sa'}{D} - \frac{sa\,(a's)}{D^2} = \frac{sa'(D-sa)}{D^2} = \frac{sa'(1-s)}{D^2} = \frac{\lambda a\,s(s-1)}{D^2},$

car $D-sa = 1-s$ et $a'=-\lambda a$.

Dérivée en $s$ (avec $\partial_s D = -(1-a)$) :

$\frac{\partial G}{\partial s} = \frac{a}{D} + \frac{sa(1-a)}{D^2} = \frac{a\big[D+s(1-a)\big]}{D^2} = \frac{a}{D^2},$

car $D+s(1-a)=1$. Ainsi

$\lambda s(s-1)\frac{\partial G}{\partial s} = \frac{\lambda a\,s(s-1)}{D^2} = \frac{\partial G}{\partial t}.$

L'équation aux dérivées partielles et la condition initiale sont satisfaites, donc

$\boxed{\ G(s,t) = \frac{s\,e^{-\lambda t}}{1-(1-e^{-\lambda t})s}\ }$

e.

En développant en série géométrique (pour $|(1-a)s|\lt 1$) :

$G(s,t) = s\,e^{-\lambda t}\sum_{k=0}^{\infty}\big[(1-e^{-\lambda t})s\big]^k = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-\lambda t}(1-e^{-\lambda t})^{n-1}s^n.$

Le coefficient de $s^n$ donne la loi (géométrique) :

$p_n(t) = e^{-\lambda t}\,(1-e^{-\lambda t})^{n-1}, \qquad n\geq 1.$

En posant $q=1-e^{-\lambda t}$ :

$P(N_t\geq m) = \sum_{n=m}^{\infty} e^{-\lambda t}q^{n-1} = e^{-\lambda t}\,\frac{q^{m-1}}{1-q} = e^{-\lambda t}\,\frac{q^{m-1}}{e^{-\lambda t}} = q^{m-1}.$

$\boxed{\ P(N_t\geq m) = \big(1-e^{-\lambda t}\big)^{m-1}, \qquad m\geq 1\ }$