مسابقة دكتوراه 2015 — Université Kasdi Merbah - Ouargla — الموضوع 02

Soit $E$ un espace vectoriel normé, $E'$ son dual topologique et $K$ une partie convexe de $E$ contenant $0$. On pose

$$K_1=\{f\in E':\langle f,x\rangle\le1,\ \forall x\in K\},$$

et

$$K_2=\{y\in E:\langle f,y\rangle\le1,\ \forall f\in K_1\}.$$

1. Énoncer la forme géométrique du théorème de Hahn-Banach pour la séparation d'un fermé et d'un compact.
2. Montrer que $\overline{K}=K_2$.

Soit $E=C([0,1],\mathbb{R})$ muni de la norme

$$\|f\|_\infty=\sup_{x\in[0,1]}|f(x)|.$$

Pour $f\in E$, on définit

$$T(f)(x)=\frac12\left[1+\int_0^1 xe^{xs}f(s)\,ds\right], \qquad x\in[0,1].$$

1. Montrer que l'application $x\mapsto T(f)(x)$ est lipschitzienne sur $[0,1]$. En déduire que $T(f)\in E$.
2. Montrer que $T:E\to E$ est une contraction et en déduire qu'il existe une unique fonction $\widetilde f\in E$ vérifiant

$$\int_0^1 xe^{xs}\widetilde f(s)\,ds=2\widetilde f(x)-1, \qquad x\in[0,1].$$

Pour tout $\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R})$ et $\alpha\in\mathbb{R}^*$, on pose

$$\langle u_\alpha,\varphi\rangle =\sum_{n\in\mathbb{Z}}\varphi(n\alpha).$$

1. Montrer que $u_\alpha$ définit une distribution. Quel est son ordre ?
2. Déterminer le support de $u_\alpha$.
3. Montrer que $\mathbf{1}_{[-N,N]}u_\alpha$ converge vers $u_\alpha$ lorsque $N\to+\infty$, au sens des distributions.

Une distribution $u\in\mathcal{D}'(\mathbb{R}^N)$ est dite homogène de degré $p\in\mathbb{R}$ si, pour tout $\lambda>0$ et tout $\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^N)$,

$$\langle u,\varphi_\lambda\rangle =\lambda^{-N-p}\langle u,\varphi\rangle, \qquad \varphi_\lambda(x)=\varphi(\lambda x).$$

1. Montrer que sur $\mathbb{R}$, la distribution $\operatorname{vp}(1/x)$ est homogène de degré $-1$.
2. Montrer que la dérivée d'une distribution homogène est encore homogène.
3. Soit $T\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^N)$ homogène de degré $p$. Montrer que sa transformée de Fourier $\widehat T$ est homogène de degré $-N-p$.
4. Montrer que $u$ est homogène de degré $p$ si et seulement si

$$\sum_{i=1}^N x_i\frac{\partial u}{\partial x_i}=pu.$$

En déduire toutes les distributions homogènes sur $\mathbb{R}$ de degré $-1$.