مسابقة دكتوراه 2015 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 02

On considère le problème de Cauchy suivant :

$ \begin{cases} \partial_t u=k\partial_{xx}u, & x\in\mathbb{R},\ t>0,\ k>0,\ u(x,0)=f(x), & x\in\mathbb{R}. \end{cases}

1. La solution du problème s’écrit comme :

$
u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}}\int_{\mathbb{R}}f(y)e^{-\frac{(x-y)^2}{4kt}}\,dy,

pour $f(x)$ continue et bornée. Si la fonction $f(x)$ n’est pas continue, est-ce que la solution peut exister ?

2. Montrer que si $f\equiv 1$, alors la solution $u(x,t)=1$.

3. Montrer que si $\lvert f(x)\rvert\leq Ae^{\alpha x}$, alors, pour tout $(x,t)$,

$ \lvert u(x,t)\rvert\leq Ae^{\alpha x}e^{\alpha^2t}.

4. Montrer que si $0<\lvert f(x)\rvert\leq M$, alors $0<\lvert u(x,t)\rvert\leq M$.

5. Si $f_1(x)$ et $f_2(x)$ sont deux conditions initiales bornées et $u_1(x,t)$ et $u_2(x,t)$ sont les solutions correspondantes, alors montrer que, pour tout $(x,t)$,

$
\lvert u_1(x,t)-u_2(x,t)\rvert\leq \varepsilon,

dès que $\lvert f_1(x)-f_2(x)\rvert\leq\varepsilon$.

6. Que peut-on déduire pour le problème ?

Soit $f(t,x)\in C^2\left([0,+\infty[\times\mathbb{R}\right)$ et $h(x)\in C^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$. Soit $u(t,x)\in C^2\left([0,+\infty[\times\mathbb{R}\right)$ la solution globale du problème de Cauchy suivant :

$ \begin{cases} -\partial_{tt}u+\partial_{xx}u=f, & x\in\mathbb{R},\ t\in ]0,+\infty[,\ u(0,x)=0,\quad \partial_tu(0,x)=h(x), & x\in\mathbb{R}. \end{cases}

On suppose que la solution $u$ est à support compact et que

$
\lVert f(t,\cdot)\rVert_{L^2(\mathbb{R})}\leq \frac{1}{1+t^2}.

On définit

$ E^2(t)=\int_{\mathbb{R}}\left(\lvert\partial_tu(t,x)\rvert^2+\lvert\partial_xu(t,x)\rvert^2\right),dx.

1. Démontrer que

$
\frac{d}{dt}E^2(t)=-2\int_{\mathbb{R}}f(t,x)\partial_tu(t,x)\,dx.

2. Démontrer l’inégalité d’énergie suivante :

$E(t)\leq E(0)+\frac{\pi}{2}. ``$