مسابقة دكتوراه 2016 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 03

مسابقة عامة · الرياضيات

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Concours d'accès au Doctorat de Systèmes Dynamiques, Faculté de Mathématiques, USTHB, Année 2016.

التمرين 1

Exercice 1 — Analyse : convergence de suites de fonctions et intégrales

#function-sequences#convergence#lebesgue-integral#pointwise-convergence

Soit $(f_n)$ la suite de fonctions définie pour tout $x \in [0,1]$ par $f_n(x) = \dfrac{n}{n^2x^2 + 1}$ .

Étudier la convergence de la suite $(f_n(x))_{n \geq 1}$ .
Calculer la limite $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{n}{n^2x^2+1}\, dx$ .
Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ . Montrer que $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{n}{n^2x^2+1}(f(x) - f(0))\, dx = 0$ .
En déduire la valeur de la limite $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{n}{n^2x^2+1} f(x)\, dx$ .

◀الحل

1.

Pour $x > 0$ : $f_n(x) = \frac{n}{n^2x^2+1} \sim \frac{1}{nx^2} \to 0$ . Pour $x = 0$ : $f_n(0) = n \to +\infty$ . Convergence simple vers $0$ sur $]0,1]$ .

2.

$\int_0^1 \frac{n}{n^2x^2+1}dx = \left[\arctan(nx)\right]_0^1 = \arctan(n) \to \frac{\pi}{2}.$

3.

Pour $\varepsilon > 0$ , par continuité de $f$ en $0$ , $|f(x)-f(0)| < \varepsilon$ pour $|x| < \delta$ . On décompose l'intégrale sur $[0,\delta]$ et $[\delta,1]$ . Sur $[0,\delta]$ : $\int_0^\delta\frac{n}{n^2x^2+1}|f(x)-f(0)|dx \leq \varepsilon\frac{\pi}{2}$ . Sur $[\delta,1]$ : $\frac{n}{n^2x^2+1}\leq\frac{1}{n\delta^2}\to 0$ . Donc l'intégrale tend vers $0$ .

4.

Par 3 : $\int_0^1\frac{n}{n^2x^2+1}f(x)dx = \int_0^1\frac{n}{n^2x^2+1}(f(x)-f(0))dx + f(0)\int_0^1\frac{n}{n^2x^2+1}dx \to 0 + f(0)\cdot\frac{\pi}{2}$ .

$\boxed{\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{n}{n^2x^2+1}f(x)dx = \frac{\pi}{2}f(0).}$

التمرين 2

Exercice 2 — Topologie : suites dans les espaces topologiques

#topology#sequences#separation#discrete-topology

Soit $(E, \tau)$ un espace topologique, $(x_n)_n$ une suite d'éléments de $E$ et $x$ un point de $E$ .

Que signifie la phrase « $x$ est une limite de la suite $(x_n)_n$ » ?
On suppose que $\tau = \mathcal{P}(E)$ . À partir de 1) montrer que seules les suites stationnaires admettent une limite.
L'espace $(E, \{\emptyset, E\})$ est-il séparé ?
Une suite quelconque $(x_n)_n$ de l'espace $(E, \{\emptyset, E\})$ admet-elle une ou plusieurs limites ?
Si $(E, \tau)$ est séparé, montrer que si une suite admet une limite, cette limite est unique.

◀الحل

1.

$x$ est limite de $(x_n)$ si tout ouvert $U$ contenant $x$ contient presque tous les $x_n$ : $\forall U \in \tau, x\in U \Rightarrow \exists N : \forall n\geq N, x_n\in U$ .

2.

Dans la topologie discrète, $\{x\}$ est ouvert. Si $x_n\to x$ , alors presque tous les $x_n$ sont dans $\{x\}$ , i.e. $x_n = x$ pour $n$ assez grand : suite stationnaire.

3.

$(E,\{\emptyset,E\})$ n'est pas séparé (sauf si $|E|=1$ ) : si $x\neq y$ , il n'existe pas d'ouverts disjoints contenant $x$ et $y$ .

4.

Les seuls ouverts sont $\emptyset$ et $E$ . Tout ouvert contenant $x$ contient tous les points, donc toute suite $(x_n)$ converge vers tout point $x\in E$ . Chaque suite a exactement $|E|$ limites.

5.

Si $x$ et $y$ sont deux limites de $(x_n)$ et $(E,\tau)$ est séparé (Hausdorff), il existe des ouverts disjoints $U\ni x$ et $V\ni y$ . Presque tous les $x_n$ sont dans $U$ et dans $V$ — contradiction. Donc $x=y$ .

$\boxed{\text{Dans un espace séparé, la limite d'une suite est unique.}}$

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