مسابقة دكتوراه 2016 — Université Dr Moulay Tahar - Saïda — الموضوع 03

1.

Par la formule d'Itô avec $A_t=\langle X\rangle_t$ (à variation finie) :

$df(X_t,\langle X\rangle_t)=\partial_x f\,dX_t+\Big(\tfrac12\partial^2_{xx}f+\partial_y f\Big)d\langle X\rangle_t$

Le terme en $d\langle X\rangle_t$ s'annule par hypothèse. Il reste $\partial_x f\,dX_t$, intégrale par rapport à une martingale locale : c'est une martingale locale.

2.

Appliquer le résultat à $f(x,y)=\exp(x-\tfrac12 y)$ : $\partial_x f=f$, $\partial^2_{xx}f=f$, $\partial_y f=-\tfrac12 f$, donc $\tfrac12\partial^2_{xx}f+\partial_y f=0$. Ainsi $\mathcal{E}(X)_t$ est une martingale locale.

$\boxed{d\mathcal{E}(X)_t=\mathcal{E}(X)_t\,dX_t}$

1.

a. $U_t=Z_t+Y_t$ a pour dérive $K_s+L_s$ et pour partie brownienne $H_s+G_s$ : c'est un processus d'Itô. Par Itô,

$U_t^2=U_0^2+\int_0^t 2U_s\,dU_s+\int_0^t (H_s+G_s)^2\,ds$

b. En écrivant $Z_tY_t=\tfrac12(U_t^2-Z_t^2-Y_t^2)$ et en appliquant Itô à chaque carré :

$\boxed{Z_tY_t=Z_0Y_0+\int_0^t Z_s\,dY_s+\int_0^t Y_s\,dZ_s+\int_0^t H_sG_s\,ds}$

2.

Par Itô sur $S_t=x_0\exp((\mu-\tfrac{\sigma^2}{2})t+\sigma W_t)$ : $dS_t=S_t\big((\mu-\tfrac{\sigma^2}{2})dt+\sigma dW_t+\tfrac12\sigma^2 dt\big)=S_t(\mu\,dt+\sigma\,dW_t)$ et $S_0=x_0$.

3.

Si $(X_t)$ est une autre solution issue de $x_0$, la question 1 appliquée à $X_t/S_t$ donne $d(X_t/S_t)=0$, donc $X_t/S_t=1$ et $X_t=S_t$ : unicité.