مسابقة دكتوراه 2016 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 04

A.1.

Fausse. L'irréductibilité seule ne suffit pas : une chaîne irréductible mais récurrente nulle ou transiente (par exemple la marche aléatoire simple symétrique sur $\mathbb{Z}$) ne possède aucune distribution stationnaire.

Correction : une chaîne de Markov homogène irréductible et récurrente positive possède une unique distribution stationnaire (en particulier, toute chaîne finie irréductible en possède une unique).

A.2.

Fausse. Pour $s\le t$, on écrit $W_t = W_s + (W_t-W_s)$ avec $W_t-W_s$ indépendant de $W_s$, donc $\mathrm{Cov}(W_t,W_s)=\mathrm{Var}(W_s)=s$. En général :

$\boxed{\mathrm{Cov}(W_t,W_s)=\min(t,s)}$

A.3.

Fausse. En prenant l'espérance de $X_t=\phi_0+\phi_1 X_{t-1}+\varepsilon_t$, avec la stationnarité ($E[X_t]=E[X_{t-1}]=m$) et $E[\varepsilon_t]=0$, on obtient $m=\phi_0+\phi_1 m$, d'où

$\boxed{E[X_t]=\frac{\phi_0}{1-\phi_1}}$

A.4.

Vraie. Par la propriété de Markov (absence de mémoire), le temps de séjour dans un état $i$ d'une chaîne de Markov à temps continu est sans mémoire, donc de loi exponentielle, de paramètre $q_i$ (le taux de sortie de l'état $i$).

B.1.

$E(X\mid\mathcal A)$ est l'unique (à une égalité presque sûre près) variable aléatoire $Y$ telle que :

• $Y$ est $\mathcal A$-mesurable et intégrable ;
• pour tout $A\in\mathcal A$, $\displaystyle\int_A Y\,dP=\int_A X\,dP$, c'est-à-dire $E[Y\,\mathbf{1}_A]=E[X\,\mathbf{1}_A]$.

Son existence et son unicité découlent du théorème de Radon-Nikodym.

B.2.

On a $X\mid\lambda\sim\mathcal P(\lambda)$ et $\lambda\sim\mathcal E(\mu)$, de densité $f(\lambda)=\mu e^{-\mu\lambda}$ ($\lambda>0$), de moyenne $1/\mu$. Par la formule des probabilités totales, pour $k\in\mathbb N$ :

$P(X=k)=\int_0^{\infty} e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\,\mu e^{-\mu\lambda}\,d\lambda=\frac{\mu}{k!}\int_0^{\infty}\lambda^k e^{-(1+\mu)\lambda}\,d\lambda=\frac{\mu}{k!}\cdot\frac{k!}{(1+\mu)^{k+1}}$

$P(X=k)=\frac{\mu}{(1+\mu)^{k+1}}=\frac{\mu}{1+\mu}\left(\frac{1}{1+\mu}\right)^{k}$

C'est une loi géométrique sur $\{0,1,2,\dots\}$ de paramètre $p=\dfrac{\mu}{1+\mu}$ :

$\boxed{P(X=k)=p(1-p)^k,\quad p=\frac{\mu}{1+\mu},\quad k=0,1,2,\dots}$

1.

Chaque ligne de $P$ doit être formée de coefficients positifs sommant à $1$ :

• Ligne 1 : $\tfrac13+\alpha=1\Rightarrow \alpha=\tfrac23$.
• Ligne 2 : $\beta+\tfrac34=1\Rightarrow \beta=\tfrac14$.
• Lignes 3 et 4 : déjà sommées à $1$.
• Ligne 5 : $\theta+\lambda=1$ avec $\theta=2\beta=\tfrac12$, d'où $\lambda=\tfrac12$.

$\boxed{\alpha=\tfrac23,\quad \beta=\tfrac14,\quad \theta=\tfrac12,\quad \lambda=\tfrac12}$

La matrice devient

$P=\begin{pmatrix} 1/3 & 2/3 & 0 & 0 & 0 \\ 1/4 & 3/4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 & 2/3 & 0 \\ 1/2 & 0 & 0 & 1/2 & 0 \end{pmatrix}$

2.

• $\{1,2\}$ est une classe fermée (aucune sortie), irréductible et apériodique (car $P_{11}=\tfrac13>0$) : classe récurrente.
• $\{3,4\}$ est une classe fermée, irréductible et apériodique (car $P_{44}=\tfrac23>0$) : classe récurrente.
• $\{5\}$ conduit vers $1$ et vers $4$, mais aucun état n'y revient : état transitoire.

La chaîne est donc réductible, avec deux classes récurrentes $C_1=\{1,2\}$ et $C_2=\{3,4\}$, et un état transitoire $\{5\}$.

3.

Depuis l'état transitoire $5$, un pas mène à $1\in C_1$ avec probabilité $\tfrac12$ et à $4\in C_2$ avec probabilité $\tfrac12$ ; une fois dans une classe récurrente fermée, la chaîne y reste. D'où les probabilités d'absorption :

$\boxed{P(\text{absorption dans }C_1\mid X_0=5)=\tfrac12,\qquad P(\text{absorption dans }C_2\mid X_0=5)=\tfrac12}$

(Pour $i\in C_1$ : absorption dans $C_1$ avec probabilité $1$ ; pour $i\in C_2$ : absorption dans $C_2$ avec probabilité $1$.)

4.

Classe $C_1=\{1,2\}$ : on résout $\pi P=\pi$ avec $\pi_1+\pi_2=1$ :

$\pi_1=\tfrac13\pi_1+\tfrac14\pi_2\ \Rightarrow\ \tfrac23\pi_1=\tfrac14\pi_2\ \Rightarrow\ \pi_2=\tfrac83\pi_1$

d'où $\pi^{(1)}=\left(\tfrac{3}{11},\tfrac{8}{11},0,0,0\right)$.

Classe $C_2=\{3,4\}$ :

$\pi_3=\tfrac13\pi_4,\qquad \pi_4=\pi_3+\tfrac23\pi_4\ \Rightarrow\ \pi_3=\tfrac14,\ \pi_4=\tfrac34$

d'où $\pi^{(2)}=\left(0,0,\tfrac14,\tfrac34,0\right)$.

$\boxed{\pi^{(1)}=\left(\tfrac{3}{11},\tfrac{8}{11},0,0,0\right),\qquad \pi^{(2)}=\left(0,0,\tfrac14,\tfrac34,0\right)}$

Toute distribution stationnaire est une combinaison convexe $c\,\pi^{(1)}+(1-c)\,\pi^{(2)}$, $c\in[0,1]$ ; l'état $5$ a une probabilité stationnaire nulle.

5.

Les deux classes récurrentes étant apériodiques, les limites existent.

• Pour $i\in C_1$ : $\lim_n p_{i1}^{(n)}=\tfrac{3}{11}$, $\lim_n p_{i2}^{(n)}=\tfrac{8}{11}$, les autres nulles.
• Pour $i\in C_2$ : $\lim_n p_{i3}^{(n)}=\tfrac14$, $\lim_n p_{i4}^{(n)}=\tfrac34$, les autres nulles.
• Pour $i=5$ (pondération par les probabilités d'absorption $\tfrac12,\tfrac12$) :

$\lim_n p_{51}^{(n)}=\tfrac12\cdot\tfrac{3}{11}=\tfrac{3}{22},\qquad \lim_n p_{52}^{(n)}=\tfrac12\cdot\tfrac{8}{11}=\tfrac{4}{11}$

$\lim_n p_{53}^{(n)}=\tfrac12\cdot\tfrac14=\tfrac18,\qquad \lim_n p_{54}^{(n)}=\tfrac12\cdot\tfrac34=\tfrac38$

• Pour tout $i$ : $\lim_n p_{i5}^{(n)}=0$ (l'état $5$ est transitoire).

$\boxed{\lim_n p_{5\cdot}^{(n)}=\left(\tfrac{3}{22},\ \tfrac{4}{11},\ \tfrac18,\ \tfrac38,\ 0\right)}$