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مسابقة دكتوراه 2016 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 03

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

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Concours d'accès à la formation 3ème cycle — 15/10/2016, Doctorat en Mathématiques Appliquées, Option : Statistique non paramétrique, Épreuve de Statistique Inférentielle (08h30-10h00), Université Mohamed Khider - Biskra, Faculté des Sciences Exactes, Département de Mathématiques.

التمرين 1

Exercice 1 — Intervalle de confiance pour une proportion

#confidence-interval#proportion#normal-approximation#sample-size

On choisit un échantillon indépendant et identiquement distribué de 500 électeurs parmi tous les électeurs d'une même commune ; ce choix indique que 53% d'entre eux ont voté pour un candidat donné.

Soient P\mathbf{P} et pp la fréquence empirique et la fréquence de la population respectivement.

  1. (3 pts) Déterminer E[P]=μPE[\mathbf{P}]=\mu_{\mathbf{P}} et σP\sigma_{\mathbf{P}}.
  2. (3 pts) Si la taille de l'échantillon n>30n\gt 30, trouver l'intervalle de confiance pour pp.
  3. (3 pts) Évaluer les limites de confiance à 95% et 99% pour la fréquence pp de la population.

N.B.: z0.975=1.96z_{0.975}=1.96, z0.995=2.58z_{0.995}=2.58.

◀الحل

1.

P\mathbf{P} suit approximativement N(p,p(1−p)/n)\mathcal{N}(p,p(1-p)/n) par le TCL.

E[P]=p=0.53,σP=p(1−p)n=0.53×0.47500≈0.02233E[\mathbf{P}]=p=0.53, \quad \sigma_{\mathbf{P}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}=\sqrt{\frac{0.53\times 0.47}{500}}\approx 0.02233

2. IC pour p

Pour n>30n\gt 30 (approx. normale) : IC=[p^−z1−α/2p^(1−p^)n,  p^+z1−α/2p^(1−p^)n]\boxed{IC = \left[\hat{p}-z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\;\hat{p}+z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right]}

3. Limites numériques

95% : 0.53±1.96×0.02233=0.53±0.0437  ⟹  [0.486,0.574]0.53\pm 1.96\times 0.02233 = 0.53\pm 0.0437 \implies [0.486, 0.574]

99% : 0.53±2.58×0.02233=0.53±0.0576  ⟹  [0.472,0.588]0.53\pm 2.58\times 0.02233 = 0.53\pm 0.0576 \implies [0.472, 0.588]

التمرين 2

Exercice 2 — Estimation de la variance d'une loi de Bernoulli et correction du biais

#bernoulli-distribution#bias#unbiased-estimator#variance-estimation

Soit Y1,…,YnY_1,\ldots,Y_n une suite de v.a. indépendantes et identiquement distribuées selon la loi de Bernoulli(p)(p). On désire estimer Var[Y1]=θ=p(1−p)\text{Var}[Y_1]=\theta=p(1-p). Pour ce faire, on dispose de l'estimateur p^=Yˉ=n−1∑i=1nYi\hat{p}=\bar{Y}=n^{-1}\sum_{i=1}^n Y_i et on considère θ^=Yˉ(1−Yˉ)\hat{\theta}=\bar{Y}(1-\bar{Y}).

  1. (3 pts) Calculer le biais de θ^\hat{\theta}.
  2. (3 pts) Comment proposez-vous de corriger ce biais ?
◀الحل

1. Biais de θ^\hat\theta

E[θ^]=E[Yˉ(1−Yˉ)]=E[Yˉ]−E[Yˉ2]E[\hat{\theta}]=E[\bar{Y}(1-\bar{Y})]=E[\bar{Y}]-E[\bar{Y}^2]

E[Yˉ]=pE[\bar{Y}]=p, E[Yˉ2]=Var(Yˉ)+(E[Yˉ])2=p(1−p)n+p2E[\bar{Y}^2]=\text{Var}(\bar{Y})+(E[\bar{Y}])^2=\frac{p(1-p)}{n}+p^2

E[θ^]=p−p(1−p)n−p2=p(1−p)−p(1−p)n=(1−1n)p(1−p)E[\hat{\theta}]=p-\frac{p(1-p)}{n}-p^2=p(1-p)-\frac{p(1-p)}{n}=\left(1-\frac{1}{n}\right)p(1-p)

Biais=E[θ^]−θ=−p(1−p)n=−θn\text{Biais} = E[\hat\theta]-\theta = -\frac{p(1-p)}{n} = -\frac{\theta}{n}

2. Correction du biais

L'estimateur corrigé est :

θ^∗=nn−1θ^=nn−1Yˉ(1−Yˉ)=1n−1∑i=1n(Yi−Yˉ)2\boxed{\hat{\theta}^* = \frac{n}{n-1}\hat{\theta}=\frac{n}{n-1}\bar{Y}(1-\bar{Y})=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(Y_i-\bar{Y})^2}

On vérifie E[θ^∗]=p(1−p)=θE[\hat\theta^*]=p(1-p)=\theta : estimateur non biaisé.

التمرين 3

Exercice 3 — Test unilatéral pour la variance d'une loi normale

#chi-square-test#variance-testing#normal-distribution#hypothesis-testing

Soit X1,…,X20X_1,\ldots,X_{20} un échantillon de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées d'une loi Gaussienne N(μ,σ2)\mathcal{N}(\mu,\sigma^2). Nous considérons l'hypothèse H0:σ2=σ02H_0:\sigma^2=\sigma_0^2. On utilise la statistique σ^2=1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2\hat{\sigma}^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2.

  1. (2,5 pts) Déterminer la distribution exacte de 1σ2∑i=1n(Xi−Xˉ)2\dfrac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2 sous H0H_0.
  2. (2,5 pts) Calculer la valeur critique kαk_\alpha pour un test unilatéral (H1:σ2>σ02)(H_1:\sigma^2\gt\sigma_0^2) au seuil de 5%. Le fractile FP=30.144F_P=30.144 de la loi khi-deux à 19 degrés de liberté pour 95%=P(χ2<FP)95\%=P(\chi^2\lt F_P).
◀الحل

1. Distribution exacte

Sous H0H_0 (σ2=σ02\sigma^2=\sigma_0^2) :

1σ02∑i=1n(Xi−Xˉ)2=(n−1)σ^2σ02∼χ2(n−1)\frac{1}{\sigma_0^2}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2 = \frac{(n-1)\hat\sigma^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)

Avec n=20n=20 : 19σ^2σ02∼χ2(19)\boxed{\dfrac{19\hat\sigma^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(19)} sous H0H_0.

2. Valeur critique

On rejette H0H_0 si (n−1)σ^2σ02≥kα\dfrac{(n-1)\hat\sigma^2}{\sigma_0^2}\geq k_\alpha.

Au seuil 5% (unilatéral droit) : kαk_\alpha est le quantile à 95% du χ2(19)\chi^2(19).

kα=FP=30.144\boxed{k_\alpha = F_P = 30.144}

On rejette H0H_0 si 19σ^2σ02≥30.144\dfrac{19\hat\sigma^2}{\sigma_0^2}\geq 30.144.

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