مسابقة دكتوراه 2016 — Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued — الموضوع 03

1. La positivité, la symétrie et $d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$ sont immédiates. Pour l'inégalité triangulaire, si $x,y,z$ sont distincts alors $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$ car chaque distance hors diagonale est $>2$. 2. Pour tout $x$, la boule ouverte de rayon $1$ vaut $\{x\}$ car toute autre distance est $>2$ ; donc tout singleton est ouvert, la topologie est discrète. 3. Une suite de Cauchy est ultimement constante, car si $n,m$ assez grands alors $d(x_n,x_m)<1$, ce qui impose $x_n=x_m$. 4. Dans un espace discret, un compact doit être fini, sinon le recouvrement par singletons n'admet pas de sous-recouvrement fini. Réciproquement tout ensemble fini est compact.

Points d'équilibre

$y=0$ et $x-x^2=0$, d'où deux équilibres : $P_0=(0,0),\qquad P_1=(1,0).$

Linéarisation

Jacobienne : $J(x,y)=\begin{pmatrix}0&1\\ 1-2x&\lambda\end{pmatrix}.$

En $P_0=(0,0)$ : $J=\begin{pmatrix}0&1\\1&\lambda\end{pmatrix}$, $\det=-1<0$. C'est un col (selle) pour tout $\lambda\in[-2,2]$.

En $P_1=(1,0)$ : $J=\begin{pmatrix}0&1\\-1&\lambda\end{pmatrix}$, $\det=1>0$, $\mathrm{tr}=\lambda$. Valeurs propres $\mu_\pm=\frac{\lambda}{2}\pm\sqrt{\frac{\lambda^2}{4}-1}.$ Pour $|\lambda|<2$ : valeurs propres complexes conjuguées, donc foyer :

• $\lambda<0$ : foyer stable ;
• $\lambda>0$ : foyer instable ;
• $\lambda=0$ : partie réelle nulle (centre linéaire).

Bifurcation

Au point $P_1=(1,0)$, la trace $\mathrm{tr}=\lambda$ change de signe en $\lambda=0$ tandis que $\det=1>0$ : les valeurs propres traversent l'axe imaginaire. Il se produit donc une $\boxed{\text{bifurcation de Hopf (Andronov-Hopf) en }\lambda=0\text{ au point }(1,0),}$ avec naissance d'un cycle limite au voisinage de $P_1$. Le point $P_0$ reste un col pour tout $\lambda$. Aux bornes $\lambda=\pm2$, les valeurs propres de $P_1$ sont réelles doubles (nœud dégénéré).

1. $\cos x$ est continue et bornée, donc de croissance polynomiale. Elle définit une distribution tempérée par $\langle T_f,\varphi\rangle=\int\cos x\,\varphi(x)\,dx$ pour tout $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$. 2. Si $\cos x$ coïncidait avec un polynôme sur $\mathbb{R}$, ce polynôme serait borné, donc constant ; impossible car $\cos$ n'est pas constante.

1. Multiplier par $v\in H_0^1(0,1)$, intégrer par parties ; les termes de bord s'annulent, d'où la formulation faible $\int p u'v'+\int q uv=\int fv$. 2. La forme $a(u,v)=\int p u'v'+\int q uv$ est continue ; la borne inférieure sur $p$ et l'hypothèse de coercivité assurent $a(u,u)\ge c\|u\|_{H_0^1}^2$. Le second membre est continu, donc Lax-Milgram donne existence et unicité. 3. De l'équation $-(pu')'=f-qu\in L^2$ et de la régularité de $p,q$, on déduit $u''\in L^2$, donc $u\in H^2(0,1)$.

1. $|Tf(x)|\le\int_0^1 M|f(t)|dt\le M\|f\|_\infty$, donc $\|Tf\|_\infty\le M\|f\|_\infty$. 2. Par récurrence et intégration itérée on obtient l'estimation classique de Volterra : $\|T^n f\|_\infty\le\frac{M^n}{n!}\|f\|_\infty$. 3. Donc $\|T^n\|\le\frac{M^n}{n!}$. 4. Le rayon spectral vaut $r(T)=\limsup\|T^n\|^{1/n}=0$, donc le spectre est réduit à $\{0\}$.