مسابقة دكتوراه 2016 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 03

1.a

Avec $\theta_2=0$, $X\sim\mathcal{E}(\theta_1)$ et $f(x)=\theta_1 e^{-\theta_1 x}\mathbf{1}_{x\geq 0}$. La vraisemblance est $L(\theta_1)=\theta_1^{n}e^{-\theta_1\sum x_i}$, donc $\ell(\theta_1)=n\log\theta_1-\theta_1\sum x_i$ et $\ell'(\theta_1)=\dfrac{n}{\theta_1}-\sum x_i=0$ :

$\hat\theta_1=\frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}=\frac{1}{\overline{X}}.$

Comme $S=\sum X_i\sim\Gamma(n,\theta_1)$, on a $E[1/S]=\theta_1/(n-1)$, d'où

$E[\hat\theta_1]=\frac{n}{n-1}\theta_1\neq\theta_1\quad(\text{biaisé}),\qquad b(\hat\theta_1)=\frac{\theta_1}{n-1}.$

Avec $E[\hat\theta_1^2]=\dfrac{n^2\theta_1^2}{(n-1)(n-2)}$, on obtient $\operatorname{Var}(\hat\theta_1)=\dfrac{n^2\theta_1^2}{(n-1)^2(n-2)}$, puis

$\operatorname{EQM}(\hat\theta_1)=\operatorname{Var}(\hat\theta_1)+b(\hat\theta_1)^2=\frac{n^2\theta_1^2}{(n-1)^2(n-2)}+\frac{\theta_1^2}{(n-1)^2}.$

$\boxed{\hat\theta_1=\frac{1}{\overline{X}},\qquad b(\hat\theta_1)=\frac{\theta_1}{n-1},\qquad \operatorname{EQM}(\hat\theta_1)=\frac{(n+2)\,\theta_1^2}{(n-1)(n-2)}.}$

1.b

$S=\sum X_i$ est exhaustive et complète (famille exponentielle). Comme $E[1/S]=\theta_1/(n-1)$, l'estimateur

$\tilde\theta_1=\frac{n-1}{\sum_{i=1}^n X_i}$

est sans biais ; par le théorème de Lehmann-Scheffé c'est l'unique estimateur sans biais de variance minimale (ESBVM). Son efficacité : $I_n(\theta_1)=n/\theta_1^2$, donc $\text{BCR}=\theta_1^2/n$, tandis que

$\operatorname{Var}(\tilde\theta_1)=\frac{\theta_1^2}{n-2}\gt\frac{\theta_1^2}{n}.$

$\boxed{\tilde\theta_1=\frac{n-1}{\sum_{i=1}^n X_i}\ \text{est l'ESBVM, mais il n'est pas efficace.}}$

1.c

On a $P_{\theta_1}(X\gt K)=e^{-\theta_1 K}$. Par invariance de l'EMV,

$\widehat{P_{\theta_1}(X\gt K)}=e^{-\hat\theta_1 K}=e^{-nK/\sum_i X_i}.$

Pour l'estimateur optimal : $\mathbf{1}_{\{X_1\gt K\}}$ est sans biais pour $e^{-\theta_1K}$ (son espérance vaut $P(X_1\gt K)$). En le conditionnant par la statistique exhaustive et complète $S=\sum_i X_i$ (Rao-Blackwell puis Lehmann-Scheffé), et comme $X_1/S\sim\text{Beta}(1,n-1)$,

$\varphi(S)=P(X_1\gt K\mid S)=\Big(1-\frac{K}{S}\Big)^{n-1}\mathbf{1}_{\{S\gt K\}}$

est l'estimateur sans biais optimal (ESBVM) de $e^{-\theta_1 K}$. Il ne peut être efficace : l'égalité dans l'inégalité de Cramér-Rao exige que l'estimateur soit une fonction affine du score $\partial_\theta\ell$, ce qui n'est pas le cas de $\varphi(S)$, fonction non affine de $S$. Aucun estimateur sans biais de $e^{-\theta_1K}$ n'atteint donc la borne.

$\boxed{\varphi(S)=\Big(1-\frac{K}{S}\Big)^{n-1}\mathbf{1}_{\{S\gt K\}},\qquad S=\sum_{i=1}^n X_i.}$

2.

Comme $X-\theta_2\sim\mathcal{E}(\theta_1)$, on a $E[X]=\theta_2+\dfrac{1}{\theta_1}$ et $\operatorname{Var}(X)=\dfrac{1}{\theta_1^2}$.

Méthode des moments. En égalant à la moyenne et à la variance empiriques $\overline{X}$ et $S_n^2=\dfrac1n\sum_i(X_i-\overline{X})^2$ :

$\theta_1^{MM}=\frac{1}{\sqrt{S_n^2}}=\frac{1}{S_n},\qquad \theta_2^{MM}=\overline{X}-\frac{1}{\theta_1^{MM}}=\overline{X}-S_n.$

Méthode du maximum de vraisemblance. $L=\theta_1^n e^{-\theta_1\sum_i(x_i-\theta_2)}\mathbf{1}_{\{\min_i x_i\geq\theta_2\}}$ est croissante en $\theta_2$ (sous la contrainte $\theta_2\leq\min_i x_i$), donc $\hat\theta_2=X_{(1)}=\min_i X_i$ ; puis $\partial_{\theta_1}\ell=0$ donne

$\boxed{\hat\theta_2=X_{(1)}=\min_i X_i,\qquad \hat\theta_1=\frac{n}{\sum_i (X_i-X_{(1)})}=\frac{1}{\overline{X}-X_{(1)}}.}$

3.a

Avec $\theta_1=1$, les $X_i-\theta_2\sim\mathcal{E}(1)$ i.i.d., donc

$\hat\theta_2-\theta_2=\min_i(X_i-\theta_2)\sim\mathcal{E}(n),$

car le minimum de $n$ exponentielles indépendantes de paramètre $1$ est exponentiel de paramètre $n$ ; sa densité est $n e^{-n y}\mathbf{1}_{y\geq 0}$. En posant $W=2n(\hat\theta_2-\theta_2)$, un changement de variable donne la densité $\tfrac12 e^{-w/2}\mathbf{1}_{w\geq 0}$, c'est-à-dire

$2n(\hat\theta_2-\theta_2)\sim\chi^2_2.$

Avec les quantiles $\chi^2_{2}(1-\alpha/2)$ et $\chi^2_{2}(\alpha/2)$ (d'ordres $\alpha/2$ et $1-\alpha/2$), $P\big(\chi^2_{2}(1-\alpha/2)\leq 2n(\hat\theta_2-\theta_2)\leq \chi^2_{2}(\alpha/2)\big)=1-\alpha$ donne

$\boxed{\theta_2\in\Big[\;\hat\theta_2-\frac{\chi^2_{2}(\alpha/2)}{2n}\;,\;\hat\theta_2-\frac{\chi^2_{2}(1-\alpha/2)}{2n}\;\Big].}$

3.b

Comme $W=\hat\theta_2-\theta_2\sim\mathcal{E}(n)$, la condition $P(a\lt W\lt b)=1-\alpha$ s'écrit

$e^{-na}-e^{-nb}=1-\alpha,$

et fournit l'intervalle $\theta_2\in(\hat\theta_2-b,\;\hat\theta_2-a)$, de longueur $\ell=b-a$. En écrivant $b=-\dfrac1n\ln\!\big(e^{-na}-(1-\alpha)\big)$, on a

$\frac{d\ell}{da}=\frac{db}{da}-1=e^{\,n(b-a)}-1\gt 0,$

donc la longueur croît avec $a$ : le minimum est atteint pour $a=0$, ce qui donne $b=\dfrac{1}{n}\ln\dfrac{1}{\alpha}$ et

$\boxed{\theta_2\in\Big(\,X_{(1)}-\frac{1}{n}\ln\frac{1}{\alpha}\,,\ X_{(1)}\,\Big],\qquad \text{longueur}=\frac{1}{n}\ln\frac{1}{\alpha}.}$

1.

Le modèle s'écrit $Y=X\beta+\varepsilon$ avec

$Y=\begin{pmatrix}\log VA_1\\ \vdots\\ \log VA_n\end{pmatrix},\qquad X=\begin{pmatrix}1 & \log L_1 & \log K_1\\ \vdots & \vdots & \vdots\\ 1 & \log L_n & \log K_n\end{pmatrix},\qquad \beta=\begin{pmatrix}\alpha\\ \lambda\\ \gamma\end{pmatrix}.$

L'estimateur des moindres carrés est

$\hat\beta=(X^tX)^{-1}X^tY,$

sans biais, de matrice de variances-covariances

$\operatorname{Var}(\hat\beta)=\sigma^2 (X^tX)^{-1}.$

Un estimateur sans biais de $\sigma^2$ est $\hat\sigma^2=\dfrac{SCR}{n-p}$ (ici $p=3$ paramètres), et on estime la matrice de variances-covariances par

$\widehat{\operatorname{Var}}(\hat\beta)=\hat\sigma^2 (X^tX)^{-1}.$

2.

Avec $n=1658$ et $p=3$ :

$\hat\sigma^2=\frac{SCR}{n-p}=\frac{148.27}{1655}\approx 0.0896.$

D'où $\widehat{\operatorname{Var}}(\hat\beta)=0.0896\,(X^tX)^{-1}$, dont la diagonale donne les variances estimées

$\widehat{\operatorname{Var}}(\hat\alpha)\approx 0.00258,\qquad \widehat{\operatorname{Var}}(\hat\lambda)\approx 1.43\times 10^{-4},\qquad \widehat{\operatorname{Var}}(\hat\gamma)\approx 8.06\times 10^{-5},$

c'est-à-dire des écarts-types estimés

$\hat\sigma_{\hat\alpha}\approx 0.0508,\qquad \hat\sigma_{\hat\lambda}\approx 0.0120,\qquad \hat\sigma_{\hat\gamma}\approx 0.0090.$

Par définition $R^2=1-\dfrac{SCR}{SCT}$, où $SCT=\sum_i(\log VA_i-\overline{\log VA})^2$ est la somme des carrés totale. Donc

$SCT=\frac{SCR}{1-R^2}=\frac{148.27}{0.055}\approx 2695.8,$

et la variance empirique de $\log VA$ vaut

$\boxed{\widehat{\operatorname{Var}}(\log VA)=\frac{SCT}{n}=\frac{2695.8}{1658}\approx 1.63.}$

3.a

$n$ étant grand, le quantile de Student $t_{n-3}$ vaut approximativement $1.96$. Les intervalles de confiance à 95% sont de la forme $\hat\beta_j\pm 1.96\,\hat\sigma_{\hat\beta_j}$ :

$\alpha\ :\ 3.136\pm 1.96\times 0.0508=3.136\pm 0.100\approx[3.036,\;3.236],$

$\lambda\ :\ 0.738\pm 1.96\times 0.0120=0.738\pm 0.0235\approx[0.715,\;0.762].$

3.b

La statistique de test de Student pour $H_0:\gamma=0$ est

$t=\frac{\hat\gamma}{\hat\sigma_{\hat\gamma}}=\frac{0.282}{0.0090}\approx 31.4.$

Comme $|t|\approx 31.4\gg 1.96=t_{0.975}$, on rejette $H_0$ au seuil de 5% :

$\boxed{\gamma\ \text{est significativement différent de }0\ \text{: le capital influe sur la valeur ajoutée.}}$