مسابقة دكتوراه 2016 — Université Abderrahmane Mira - Béjaïa — الموضوع 03

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

Concours Doctorat LMD, Méthodes de Monte Carlo, Université A. Mira de Béjaïa, 30 janvier 2016.

التمرين 1

Simulation par inversion, mélange et rejet

#monte-carlo#inverse-transform#rejection-sampling

Simuler la densité $f(x)=\frac23[x\mathbf1_{[0,1]}+\mathbf1_{(1,2]}]$ par inversion, décomposition et rejet.

◀الحل

$F(x)=x^2/3$ sur $[0,1]$ et $(2x-1)/3$ sur $[1,2]$ . Donc $X=\sqrt{3U}$ si $U\le1/3$ , sinon $X=(3U+1)/2$ . En mélange: poids $1/3$ pour la densité $2x$ simulée par $\sqrt U$ , poids $2/3$ pour $U(1,2)$ . Le rejet avec proposition uniforme sur $[0,2]$ utilise la constante $4/3$ .

التمرين 2

Simulation conditionnelle d'un couple

#joint-density#conditional-simulation#sampling

Pour $f(x,y)=k(x^2+y^2)/2$ sur $0\le y\le x\le1$ , calculer $k$ et simuler $(X,Y)$ , puis $Z=X+4e^{-Y}$ .

◀الحل

La normalisation donne $k=6$ . La marginale est $f_X(x)=4x^3$ , donc $X=U_1^{1/4}$ . Pour $R=Y/X$ , $f_R(r)=3(1+r^2)/4$ et $G(r)=(3r+r^3)/4$ ; résoudre $r^3+3r=4U_2$ , puis poser $Y=XR$ . La répétition et la transformation donnent un échantillon iid de $Z$ .

التمرين 3

Intégration Monte Carlo sur (-2,2)

#monte-carlo-integration#law-of-large-numbers

Estimer $\int_{-2}^2\cos(\pi x)\sqrt{4-x^2}dx$ par Monte Carlo.

◀الحل

Pour $U\sim U(-2,2)$ , $I=4E[h(U)]$ , $h(x)=\cos(\pi x)\sqrt{4-x^2}$ . L'estimateur $\widehat I_n=4n^{-1}\sum h(U_j)$ est consistant et asymptotiquement normal, car $h$ est bornée et de carré intégrable.

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