مسابقة دكتوراه 2016 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 04

Pour tout $x>0$, $n^2x^2+1\to+\infty$, donc $f_n(x)\to0$, tandis que $f_n(0)=1$ pour tout $n$. Ainsi $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f_\infty(x)=\begin{cases}1,&x=0,\\0,&x>0.\end{cases}$ La convergence n'est pas uniforme sur $[0,1]$.

Ensuite, $\int_0^1\frac{1}{n^2x^2+1}dx=\frac1n\int_0^n\frac{1}{1+t^2}dt=\frac{\arctan(n)}{n}\xrightarrow[n\to\infty]{}0.$

Pour une fonction continue $f$, on écrit $\left|\int_0^1\frac{f(x)-f(0)}{n^2x^2+1}dx\right|\le \sup_{x\in[0,1]}|f(x)-f(0)|\int_0^1\frac{dx}{n^2x^2+1}.$ On découpe plus finement près de 0 ou on utilise la continuité uniforme de $f$ : pour $\varepsilon>0$, choisir $\delta$ tel que $|x|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(0)|<\varepsilon$, puis séparer l'intégrale sur $[0,\delta]$ et $[\delta,1]$. Cela donne la limite nulle.

Enfin, $\int_0^1\frac{f(x)}{n^2x^2+1}dx=f(0)\int_0^1\frac{dx}{n^2x^2+1}+\int_0^1\frac{f(x)-f(0)}{n^2x^2+1}dx,$ et les deux termes tendent vers 0. Donc $\boxed{\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{f(x)}{n^2x^2+1}dx=0.}$

Dire que $x$ est limite de $(x_n)$ signifie : pour tout voisinage $V$ de $x$, il existe $N$ tel que pour tout $n\ge N$, on ait $x_n\in V$.

Si $\tau=\mathcal P(E)$, toutes les parties sont ouvertes, donc en particulier $\{x\}$ est un voisinage de $x$. Si $x_n\to x$, alors il existe $N$ tel que pour tout $n\ge N$, $x_n\in\{x\}$, c'est-à-dire $x_n=x$. Donc seules les suites stationnaires à partir d'un certain rang peuvent converger.

L'espace $(E,\mathcal P(E))$ est séparé (Hausdorff), même discret : pour deux points distincts $x\neq y$, les ouverts disjoints $\{x\}$ et $\{y\}$ les séparent.

Une suite quelconque n'admet une limite que si elle est stationnaire à partir d'un certain rang ; dans ce cas, sa limite est exactement cette valeur stationnaire. Donc elle n'a pas plusieurs limites.

Dans un espace séparé, si $x_n\to x$ et $x_n\to y$ avec $x\neq y$, il existe des voisinages disjoints $U$ de $x$ et $V$ de $y$. À partir d'un certain rang, $x_n\in U$ et aussi $x_n\in V$, contradiction. Donc la limite est unique.