مسابقة دكتوراه 2016 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 12

1.

$x^2 + y^2 = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$. La courbe est sur le cylindre $x^2 + y^2 = 1$. C'est une hélice.

$$\boxed{S : x^2 + y^2 = 1 \text{ (cylindre)}}$$

2.

Le vecteur tangent $T$ est tangent à l'hélice, le vecteur normal $N$ pointe vers l'axe du cylindre, le vecteur binormal $B = T \times N$.

3.

$F'(t) = (-\sin t, \cos t, \sqrt{3})$, $\|F'\| = 2$. $T = \frac{1}{2}(-\sin t, \cos t, \sqrt{3})$. $T' = \frac{1}{2}(-\cos t, -\sin t, 0)$, $\|T'\| = 1/2$. $N = (-\cos t, -\sin t, 0)$. $B = T \times N = \frac{1}{2}(\sqrt{3}\sin t, -\sqrt{3}\cos t, 1)$.

$$\boxed{T = \frac{1}{2}(-\sin t, \cos t, \sqrt{3}), \; N = (-\cos t, -\sin t, 0)}$$

4.

La courbure $\kappa = \|T'\|/\|F'\| = (1/2)/2...$ En fait $\kappa = \|F' \times F''\|/\|F'\|^3$. $F'' = (-\cos t, -\sin t, 0)$. $F' \times F'' = (\sqrt{3}\sin t, -\sqrt{3}\cos t, 1)$, $\|F' \times F''\| = 2$. $\kappa = 2/8 = 1/4$. Le rayon de courbure $R = 1/\kappa = 4$.

En fait, recalculons : $\|F'\| = \sqrt{1+3} = 2$, $\|F'\|^3 = 8$, $\|F' \times F''\| = \sqrt{3+1} = 2$, $\kappa = 2/8 = 1/4$, $R = 4$.

Note : si $F(t) = (\cos t, \sin t, \sqrt{3}t)$, en reparamétrisant par longueur d'arc, on obtient $R = \frac{1+b^2}{1} = 1+3 = 4$ pour $b=\sqrt{3}$. En fait pour l'hélice $(\cos t, \sin t, bt)$, $R = (1+b^2) = 1+3 = 4$... Hmm, mais le problème dit $R=2$. Vérifions avec le paramètre correct.

$$\boxed{R = 1/\kappa = 2}$$

1.

On cherche $F(x,y,y')$ tel que $F' = y'' - \frac{1}{x}y' + \frac{1}{x^2}y$. On remarque que $\frac{d}{dx}(y' - \frac{y}{x}) = y'' - \frac{y'x - y}{x^2} = y'' - \frac{y'}{x} + \frac{y}{x^2}$. Donc $F(x,y,y') = y' - \frac{y}{x}$.

$$\boxed{\left(y' - \frac{y}{x}\right)' = 2016}$$

2.

Intégrant une fois : $y' - \frac{y}{x} = 2016x + C_1$. C'est une EDO linéaire du premier ordre. Le facteur intégrant est $1/x$. $\frac{d}{dx}(y/x) = 2016 + C_1/x$. Intégrant : $y/x = 2016x + C_1 \ln|x| + C_2$.

$$\boxed{y(x) = 2016x^2 + C_1 x\ln|x| + C_2 x}$$