مسابقة دكتوراه 2016 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 12

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques · المدة: 1سا 30د

Concours d'accès à la formation de 3ème Cycle LMD — Mathématiques Appliquées (Option Probabilités et Statistique) — Épreuve de Probabilités, Université Mohamed Khider - Biskra, Faculté des Sciences Exactes et des Sciences de la Nature et de la Vie, Département de Mathématiques — 17/10/2015 — Durée 01h30.

التمرين 1

Exercice 1 — Somme de lois binomiales et loi conditionnelle

#probability#binomial-distribution#sum-of-random-variables#conditional-distribution

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives $B(n,p)$ et $B(m,p)$ , où $n, m \in \mathbb{N}^*$ et $0 \lt p \lt 1$ , sur un espace de probabilité $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ .

Montrer que la variable aléatoire $X + Y$ suit la loi binomiale $B(n+m, p)$ .
Quelle est la loi conditionnelle de $X$ sachant $X + Y = k$ ?

◀الحل

1.

Par les fonctions génératrices : $G_X(s) = (1-p+ps)^n$ , $G_Y(s) = (1-p+ps)^m$ . Par indépendance : $G_{X+Y}(s) = (1-p+ps)^{n+m}$ .

\boxed{X+Y \sim B(n+m, p)}

2.

$P(X=j \mid X+Y=k) = \frac{P(X=j)P(Y=k-j)}{P(X+Y=k)} = \frac{\binom{n}{j}p^j(1-p)^{n-j} \binom{m}{k-j}p^{k-j}(1-p)^{m-k+j}}{\binom{n+m}{k}p^k(1-p)^{n+m-k}}$ .

\boxed{P(X=j \mid X+Y=k) = \frac{\binom{n}{j}\binom{m}{k-j}}{\binom{n+m}{k}}}

C'est une loi hypergéométrique.

التمرين 2

Exercice 2 — Espérance conditionnelle Lp et opérateur de projection

#conditional-expectation#lp-spaces#projection-operator

Soient $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ un espace de probabilité et $\mathcal{G}$ une sous-tribu de $\mathcal{F}$ .

Montrer que pour toute variable aléatoire $Y \in L^p(\Omega, \mathcal{F}, P)$ , $p \geq 1$ :

\|E(Y / \mathcal{G})\|_{L^p} \leq \|Y\|_{L^p}.

En déduire que l'application $\varphi : L^p(\Omega, \mathcal{F}, P) \to L^p(\Omega, \mathcal{G}, P)$ définie par $\varphi(Y) = E(Y / \mathcal{G})$ est un opérateur linéaire continu de norme 1, tel que $\varphi \circ \varphi = \varphi$ .

◀الحل

1.

Par l'inégalité de Jensen conditionnelle : $|E(Y|\mathcal{G})|^p \leq E(|Y|^p | \mathcal{G})$ . En prenant l'espérance :

$E[|E(Y|\mathcal{G})|^p] \leq E[E(|Y|^p|\mathcal{G})] = E[|Y|^p]$ .

\boxed{\|E(Y/\mathcal{G})\|_{L^p} \leq \|Y\|_{L^p}}

2.

$\varphi$ est linéaire (linéarité de l'espérance conditionnelle). $\|\varphi\| \leq 1$ par la question 1. Pour $Y$ $\mathcal{G}$ -mesurable, $\varphi(Y) = Y$ , donc $\|\varphi\| = 1$ . $\varphi \circ \varphi = \varphi$ car $E(E(Y|\mathcal{G})|\mathcal{G}) = E(Y|\mathcal{G})$ (propriété de tour).

التمرين 3

Exercice 3 — Convergence en loi de Xₙ + Yₙ

#probability#convergence-in-law#characteristic-function#slutsky-theorem

Soient $X$ une v.a.r., $(X_n)_{\mathbb{N}}$ et $(Y_n)_{\mathbb{N}}$ deux suites de v.a.r.

Montrer que, pour tous $t \in \mathbb{R}$ , $\alpha \gt 0$ et $n \in \mathbb{N}$ ,

|\Phi_{X_n+Y_n}(t) - \Phi_{X_n}(t)| \leq 2P(|Y_n| \gt \alpha) + E\left[\mathbf{1}_{]-\infty, \alpha]}(|Y_n|) |e^{itY_n} - 1|\right],

où $\Phi_Z$ désigne la fonction caractéristique de la v.a.r. $Z$ .

Montrer que si $(X_n)$ converge en loi vers $X$ et $(Y_n)$ converge en loi (ou en probabilité) vers 0, alors la suite $(X_n + Y_n)$ converge en loi vers $X$ .
À l'aide d'un exemple, montrer que l'on n'a pas nécessairement $(X_n - X)_{\mathbb{N}}$ qui converge en loi vers 0.

◀الحل

1.

$|\Phi_{X_n+Y_n}(t) - \Phi_{X_n}(t)| = |E[e^{itX_n}(e^{itY_n}-1)]| \leq E[|e^{itY_n}-1|]$ .

On décompose : $E[|e^{itY_n}-1|] = \int_{|Y_n|\gt\alpha} |e^{itY_n}-1| dP + \int_{|Y_n|\leq\alpha} |e^{itY_n}-1| dP \leq 2P(|Y_n|\gt\alpha) + E[\mathbf{1}_{|Y_n|\leq\alpha}|e^{itY_n}-1|]$ .

2.

Pour $\varepsilon \gt 0$ , choisir $\alpha$ tel que $|e^{ity}-1| \leq \varepsilon$ pour $|y| \leq \alpha$ . Comme $Y_n \to 0$ en proba, $P(|Y_n|\gt\alpha) \to 0$ . Donc $|\Phi_{X_n+Y_n}(t) - \Phi_{X_n}(t)| \to 0$ . Comme $\Phi_{X_n}(t) \to \Phi_X(t)$ , on obtient $\Phi_{X_n+Y_n}(t) \to \Phi_X(t)$ .

3.

Soit $X$ de loi symétrique ( $P_X = \frac{1}{2}(\delta_{-1}+\delta_1)$ ) et $X_n := -X$ . Alors $X_n$ converge en loi vers $X$ (même loi), mais $X_n - X = -2X$ ne converge pas en loi vers 0.

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