مسابقة دكتوراه 2016 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 13

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques · المدة: 1سا 30د

Concours d'accès à la formation de 3ème Cycle LMD — Mathématiques Appliquées (Option Probabilités et Statistique) — Épreuve de Statistique (variante 2), Université Mohamed Khider - Biskra, Faculté des Sciences Exactes et des Sciences de la Nature et de la Vie, Département de Mathématiques — 17/10/2015 — Durée 01h30.

التمرين 1

Exercice 1 — Perturbation d'une densité : mélange gaussien

#statistics#mixture-distribution#gaussian#expectation#variance

Soit $f(x)$ une fonction de densité définie sur $\mathbb{R}$ . On définit une perturbation de $f(x)$ par

f_{\epsilon,b}(x) = (1 - \epsilon)f(x) + \frac{\epsilon}{b} f\left(\frac{x}{b}\right),

où $0 \lt \epsilon \leq 0{,}05$ et $b \gt 1$ .

Montrer que $f_{\epsilon,b}(x)$ est une fonction de densité.
Si $f(x)$ est la densité d'une distribution normale d'espérance 0 et de variance 1, calculer $\mathbb{E}(X)$ et $\text{Var}(X)$ , où $X \sim f_{\epsilon,b}(x)$ .
Si $b = 3$ et $\epsilon = 0{,}05$ , interpréter $f_{\epsilon,b}(x)$ de la question 2 et la comparer avec $f(x)$ .

◀الحل

1.

$f_{\epsilon,b}(x) \geq 0$ car combinaison convexe de densités positives. $\int f_{\epsilon,b} dx = (1-\epsilon)\int f dx + \frac{\epsilon}{b}\int f(x/b)dx = (1-\epsilon) + \epsilon = 1$ .

2.

$\mathbb{E}(X) = (1-\epsilon) \cdot 0 + \epsilon \cdot 0 = 0$ (par symétrie des deux composantes).

$\mathbb{E}(X^2) = (1-\epsilon) \cdot 1 + \epsilon \cdot b^2 = 1 - \epsilon + \epsilon b^2$ . Donc $\text{Var}(X) = 1 + \epsilon(b^2 - 1)$ .

\boxed{\mathbb{E}(X) = 0, \quad \text{Var}(X) = 1 + \epsilon(b^2-1)}

3.

Avec $b=3, \epsilon=0{,}05$ : $\text{Var}(X) = 1 + 0{,}05 \times 8 = 1{,}4$ . C'est un mélange de 95% d'une $\mathcal{N}(0,1)$ et 5% d'une $\mathcal{N}(0,9)$ . La contamination par la composante à grande variance crée des queues plus épaisses que la gaussienne standard.

التمرين 2

Exercice 2 — Moments de la moyenne empirique et coefficients d'asymétrie

#statistics#moments#skewness#kurtosis#sample-mean

Soit $\bar{X}$ la moyenne empirique d'un échantillon $(X_1, X_2)$ d'une variable aléatoire $X$ centrée de $k$ -ème moment $\mu_k$ ( $k \geq 1$ ). On désigne par $\mu_k(\bar{X})$ les moments d'ordre $k \geq 1$ de $\bar{X}$ .

Exprimer $\mu_k(\bar{X})$ pour $k = 1, \ldots, 4$ en termes des $\mu_k$ .
Exprimer les coefficients de dissymétrie $\gamma_1(\bar{X})$ et d'aplatissement $\gamma_2(\bar{X})$ de $\bar{X}$ en termes de ceux de $X$ .
On suppose maintenant que $X$ est symétrique et on désigne par $M_k$ le moment empirique d'ordre $k$ ( $k \geq 1$ ). Calculer $\text{Cov}(M_1, M_2)$ .

◀الحل

1.

$\bar{X} = (X_1+X_2)/2$ . $\mu_1(\bar{X}) = 0$ . $\mu_2(\bar{X}) = \mu_2/2$ . $\mu_3(\bar{X}) = \mu_3/4$ . $\mu_4(\bar{X}) = (\mu_4 + 3\mu_2^2)/8 + \mu_2^2 \cdot 3/4$ ... Par calcul direct des moments centrés.

2.

$\gamma_1(\bar{X}) = \mu_3(\bar{X})/\mu_2(\bar{X})^{3/2} = \gamma_1(X)/\sqrt{2}$ .

$\gamma_2(\bar{X}) = \mu_4(\bar{X})/\mu_2(\bar{X})^2 - 3$ . Par calcul, $\gamma_2(\bar{X}) = \gamma_2(X)/2$ .

3.

Si $X$ est symétrique, $\mu_3 = 0$ . $M_1 = \bar{X}$ , $M_2 = \frac{1}{2}\sum X_i^2$ .

$\text{Cov}(M_1, M_2) = E[M_1 M_2] - E[M_1]E[M_2]$ . Par symétrie et calcul : $\text{Cov}(M_1, M_2) = \mu_3/n = 0$ .

\boxed{\text{Cov}(M_1, M_2) = 0}

التمرين 3

Exercice 3 — Loi Gamma(2,λ) : EMV et intervalle de confiance

#statistics#gamma-distribution#maximum-likelihood#confidence-interval

Soient $X_1, \ldots, X_n$ une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de densité

f_\lambda(x) = \begin{cases} \lambda^2 x \exp(-\lambda x) & \text{si } x \geq 0 \\\\ 0 & \text{si } x \lt 0 \end{cases} \quad , \; \lambda \gt 0.

Calculer $\mu = \mathbb{E}(X_1)$ puis exprimer $\text{Var}(X_1)$ en fonction de $\mu$ .
Construire un intervalle de confiance approché au niveau 95% pour $\mu$ basé sur $\sum_{i=1}^n X_i$ .

◀الحل

1.

$X \sim \text{Gamma}(2, \lambda)$ . $\mu = \mathbb{E}(X) = 2/\lambda$ . $\text{Var}(X) = 2/\lambda^2 = \mu^2/2$ .

\boxed{\mu = 2/\lambda, \quad \text{Var}(X) = \mu^2/2}

2.

Par le TCL, $\bar{X} \approx \mathcal{N}(\mu, \mu^2/(2n))$ . On remplace $\mu$ par $\bar{X}$ dans la variance : $\text{IC}_{95\%} = \bar{X} \pm 1{,}96 \cdot \frac{\bar{X}}{\sqrt{2n}}$ .

\boxed{\text{IC} = \left[\bar{X}\left(1 - \frac{1{,}96}{\sqrt{2n}}\right), \; \bar{X}\left(1 + \frac{1{,}96}{\sqrt{2n}}\right)\right]}

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