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مسابقة دكتوراه 2016 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 13

مسابقة تخصص · Systèmes Dynamiques

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Concours pour le Doctorat Systèmes Dynamiques, Épreuve Analyse et Topologie, USTHB, Faculté de Mathématiques — Année 2016.

التمرين 1

Exercice 1 (Analyse) — Convergence de suites de fonctions et intégrales

#sequences-of-functions#pointwise-convergence#integral-limits#uniform-convergence

Soit (fn)(f_n) la suite de fonctions définie pour tout x∈[0,1]x \in [0, 1] par fn(x)=nn2x2+1f_n(x) = \frac{n}{n^2 x^2 + 1}.

  1. Étudier la convergence de la suite (fn(x))n≥1(f_n(x))_{n \geq 1}.
  2. Calculer la limite lim⁡n→∞∫01nn2x2+1 dx\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{n}{n^2 x^2 + 1}\,dx.

Soit ff une fonction continue sur [0,1][0,1].

  1. Montrer que lim⁡n→∞∫01nn2x2+1(f(x)−f(0)) dx=0\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{n}{n^2 x^2 + 1}(f(x) - f(0))\,dx = 0.
  2. En déduire la valeur de la limite lim⁡n→∞∫01nn2x2+1f(x) dx\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{n}{n^2 x^2 + 1} f(x)\,dx.
◀الحل

1.

Pour x=0x = 0 : fn(0)=n→+∞f_n(0) = n \to +\infty. Pour x>0x \gt 0 : fn(x)=nn2x2+1∼1nx2→0f_n(x) = \frac{n}{n^2x^2+1} \sim \frac{1}{nx^2} \to 0. La convergence n'est pas uniforme.

2.

∫01nn2x2+1dx=[arctan⁡(nx)]01=arctan⁡(n)→π2\int_0^1 \frac{n}{n^2x^2+1}dx = [\arctan(nx)]_0^1 = \arctan(n) \to \frac{\pi}{2}.

lim⁡=π2\boxed{\lim = \frac{\pi}{2}}

3.

Soit ε>0\varepsilon \gt 0. Par continuité de ff en 0, ∃δ\exists \delta tel que ∣x∣<δ⇒∣f(x)−f(0)∣<ε|x| \lt \delta \Rightarrow |f(x)-f(0)| \lt \varepsilon. On découpe ∫01=∫0δ+∫δ1\int_0^1 = \int_0^\delta + \int_\delta^1. Sur [0,δ][0,\delta] : majoré par ε⋅π/2\varepsilon \cdot \pi/2. Sur [δ,1][\delta, 1] : fn(x)≤nn2δ2=1nδ2→0f_n(x) \leq \frac{n}{n^2\delta^2} = \frac{1}{n\delta^2} \to 0.

lim⁡=0\boxed{\lim = 0}

4.

∫01fnf dx=∫01fn(f(x)−f(0))dx+f(0)∫01fn dx→0+f(0)⋅π2\int_0^1 f_n f\,dx = \int_0^1 f_n(f(x)-f(0))dx + f(0)\int_0^1 f_n\,dx \to 0 + f(0) \cdot \frac{\pi}{2}.

lim⁡=π2f(0)\boxed{\lim = \frac{\pi}{2}f(0)}

التمرين 2

Exercice 2 (Topologie) — Espaces topologiques, séparation et limites de suites

#topological-spaces#separation-axioms#convergence#hausdorff

Soit (E,τ)(E, \tau) un espace topologique, (xn)(x_n) une suite d'éléments de EE et xx un point de EE.

  1. Que signifie la phrase « xx est une limite de la suite (xn)n(x_n)_n » ?
  2. On suppose que τ=P(E)\tau = \mathcal{P}(E). À partir de 1), montrer que seules les suites stationnaires admettent une limite.
  3. L'espace (E,{∅,E})(E, \{\emptyset, E\}) est-il séparé ?
  4. Une suite quelconque (xn)n(x_n)_n de l'espace (E,{∅,E})(E, \{\emptyset, E\}) admet-elle une ou plusieurs limites ?
  5. Si (E,τ)(E, \tau) est séparé, montrer que si une suite admet une limite, cette limite est unique.
◀الحل

1.

xx est limite de (xn)(x_n) si pour tout ouvert UU contenant xx, il existe NN tel que pour tout n≥Nn \geq N, xn∈Ux_n \in U.

2.

Avec τ=P(E)\tau = \mathcal{P}(E) (topologie discrète), {x}\{x\} est ouvert. Donc xn∈{x}x_n \in \{x\} pour n≥Nn \geq N, i.e. xn=xx_n = x à partir d'un certain rang. Seules les suites stationnaires convergent.

Seules les suites stationnaires convergent\boxed{\text{Seules les suites stationnaires convergent}}

3.

Non. Dans (E,{∅,E})(E, \{\emptyset, E\}) (topologie grossière), pour deux points distincts x≠yx \neq y, le seul ouvert contenant xx est EE qui contient aussi yy. Pas de séparation.

Non seˊpareˊ\boxed{\text{Non séparé}}

4.

Tout point x∈Ex \in E est limite de toute suite, car le seul ouvert contenant xx est EE, et tous les termes de la suite sont dans EE. Donc toute suite admet TOUS les points de EE comme limites.

Toute suite converge vers tout point de E\boxed{\text{Toute suite converge vers tout point de } E}

5.

Soient x≠yx \neq y deux limites. Par séparation (Hausdorff), il existe U,VU, V ouverts disjoints avec x∈U,y∈Vx \in U, y \in V. Pour nn assez grand, xn∈Ux_n \in U et xn∈Vx_n \in V, donc xn∈U∩V=∅x_n \in U \cap V = \emptyset. Contradiction.

La limite est unique dans un espace seˊpareˊ\boxed{\text{La limite est unique dans un espace séparé}}
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