📚 الرئيسية
دخول

مسابقة دكتوراه 2017 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 04

مسابقة تخصص · EDP

⬇️ تحميل☆ حفظ✓ تم الحل

Contrôle optimal des EDP, 29/10/2017

التمرين 1

Équation des ondes avec données mixtes

#équation des ondes#Fourier#Dirichlet

Résoudre, pour 0<x<π0<x<\pi et t>0t>0,

utt=uxx,u_{tt}=u_{xx},

avec

u(x,0)=x2(π−x),ut(x,0)=1,u(x,0)=x^2(\pi-x),\qquad u_t(x,0)=1,

et

u(0,t)=u(π,t)=0.u(0,t)=u(\pi,t)=0.

Interpréter le modèle comme les vibrations d'une tige et traiter le cas où elle est lâchée au repos.

◀الحل

La solution s'écrit

u(x,t)=∑n=1∞(Ancos⁡(nt)+Bnsin⁡(nt))sin⁡(nx),u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(A_n\cos(nt)+B_n\sin(nt)\right)\sin(nx),

avec

An=2π∫0πx2(π−x)sin⁡(nx) dx,A_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi x^2(\pi-x)\sin(nx)\,dx,

et

Bn=2πn∫0πsin⁡(nx) dx=2(1−(−1)n)πn2.B_n=\frac{2}{\pi n}\int_0^\pi\sin(nx)\,dx=\frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n^2}.

Pour une tige de longueur LL et de célérité cc, remplacer nn par nπ/Ln\pi/L et ntnt par cnπt/Lcn\pi t/L. Si la tige est lâchée au repos, tous les coefficients BnB_n sont nuls.

التمرين 2

Limite distributionnelle de $\sin(nx)/x$

#distributions#limite faible#Dirichlet

Pour n≥1n\ge1, poser

fn(x)=sin⁡(nx)x.f_n(x)=\frac{\sin(nx)}{x}.

  1. Montrer que fnf_n définit une distribution régulière sur R\mathbb R.

  2. Étudier ⟨fn,φ⟩\langle f_n,\varphi\rangle pour φ∈D(R)\varphi\in\mathcal D(\mathbb R).

  3. En déduire la limite de fnf_n dans D′(R)\mathcal D'(\mathbb R), sachant que

∫−∞∞sin⁡xx dx=π.\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx=\pi.

◀الحل

Après le changement de variable t=nxt=nx,

⟨fn,φ⟩=∫Rsin⁡ttφ(t/n) dt.\langle f_n,\varphi\rangle=\int_{\mathbb R}\frac{\sin t}{t}\varphi(t/n)\,dt.

On écrit φ(t/n)=φ(0)+φ(t/n)−φ(0)\varphi(t/n)=\varphi(0)+\varphi(t/n)-\varphi(0). Le second terme tend vers zéro par une coupure et le lemme de Riemann-Lebesgue. Ainsi

⟨fn,φ⟩→πφ(0),\langle f_n,\varphi\rangle\to\pi\varphi(0),

soit

fn⟶πδ0dans D′(R).f_n\longrightarrow\pi\delta_0\quad\text{dans }\mathcal D'(\mathbb R).

التمرين 3

Problème de Neumann avec moyenne nulle

#Neumann#Poincaré-Wirtinger#Lax-Milgram

Soit I=(a,b)I=(a,b) et f∈L2(I)f\in L^2(I). Chercher u∈H2(I)u\in H^2(I) tel que

−u′′=f,-u''=f,

u′(a)=u′(b)=0,u'(a)=u'(b)=0,

et

∫abu(x) dx=0.\int_a^b u(x)\,dx=0.

Établir la condition de compatibilité, la formulation variationnelle, puis l'existence, l'unicité et la régularité.

◀الحل

La condition nécessaire est

∫abf(x) dx=0.\int_a^b f(x)\,dx=0.

Posons

V={v∈H1(I):∫abv(x) dx=0}.V=\left\{v\in H^1(I):\int_a^b v(x)\,dx=0\right\}.

L'inégalité de Poincaré-Wirtinger montre que

∥v∥L2(I)≤C∥v′∥L2(I),\|v\|_{L^2(I)}\le C\|v'\|_{L^2(I)},

et que ∥v′∥L2\|v'\|_{L^2} est une norme équivalente sur VV. La formulation faible est

\qquad\forall v\in V.$$ Lax-Milgram donne une solution faible unique. Comme $u''=-f\in L^2(I)$, on a $u\in H^2(I)$, et l'intégration par parties restitue les conditions de Neumann.
→السابقConcours Doctorat 2017 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — Épreuve N°03التاليConcours Doctorat 2017 — Université Mohamed Khider - Biskra — Épreuve N°04←