مسابقة دكتوراه 2024 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 01

On considère la série de fonctions $\displaystyle\sum_{n \ge 0} f_n$, avec $f_n(x) = \exp(2^{-nx}) - 1$, $x \in \mathbb{R}$.

1. Trouver le domaine de convergence simple $D$ de la série de fonctions $\displaystyle\sum_{n \ge 0} f_n$.

2. A-t-on convergence normale de la série de fonctions $\displaystyle\sum_{n \ge 0} f_n$ sur $D$ ?

3. Pour $x$ dans $D$, on pose $S(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)$.

(a) Étudier la continuité de la fonction $S$ sur $D$.

(b) La fonction $S$ est-elle dérivable sur $D$ ?

1. Soient $(E, d)$ un espace métrique complet et $(A_n)_n$ une suite décroissante de fermés non vides ($A_{n+1} \subset A_n$, $\forall n \in \mathbb{N}^*$) telle que le diamètre $\delta(A_n)$ de $A_n$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$. Montrer qu'il existe $x$ dans $E$, tel que

$$\bigcap_{n \in \mathbb{N}^*} A_n = \{x\}.$$

2. Application :

Soient $(E, d)$ un espace métrique complet et $f$ une application continue de $(E, d)$ dans $(\mathbb{R}, |\cdot|)$, où $|\cdot|$ est la distance usuelle. On suppose que $f$ vérifie l'inégalité suivante :

$$d(x, y) \ge |f(x) - f(y)|, \quad \forall x, y \in E.$$

Pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, on considère les parties suivantes de $E$ :

$$F_n = \left\{ x \in E : f(x) \le \frac{1}{2n} \right\}.$$

On suppose que les parties $F_n$ sont toutes non vides.

(a) Montrer que, pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, $F_n$ est un fermé de $(E, d)$.

(b) En déduire qu'il existe $x_0$ dans $E$, tel que $\displaystyle\bigcap_{n \in \mathbb{N}} F_n = \{x_0\}$.

(c) On suppose de plus, que pour tout $x$ dans $E$, $f(x) \ge 0$. En déduire que $f(x_0) = 0$.

1. Un endomorphisme $f$ d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ est dit nilpotent s'il existe un entier $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $f^n = 0$ (où $f^n = f \circ f \circ \cdots \circ f$, $n$ fois).

Quelles sont les valeurs propres d'un endomorphisme nilpotent ?

2. Soient $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension 3 et $f$ un endomorphisme de $E$ tel que $f^2 \ne 0$ et $f^3 = 0$.

(a) Montrer qu'il existe un vecteur $x$ de $E$ tel que la famille $\mathcal{B} = \{x, f(x), f^2(x)\}$ soit une base de $E$. (Indication : utiliser l'hypothèse $f^2 \ne 0$.)

(b) Déterminer la matrice $A$ de $f$ relativement à la base $\mathcal{B}$.

(c) Déterminer le sous-espace propre associé à l'unique valeur propre de $A$.

(d) La matrice $A$ est-elle diagonalisable ? Justifier.

Soient $E = \mathbb{R}_2[X]$ le $\mathbb{R}$-espace vectoriel des polynômes en $X$ de degré $\le 2$ à coefficients réels et $\varphi : E \times E \to \mathbb{R}$ la forme bilinéaire symétrique définie par

$$\varphi(P, Q) = P(1)Q(-1) + P(-1)Q(1).$$

1. Donner la matrice $M$ de $\varphi$ par rapport à la base canonique $\mathcal{E}$ de $E$.

2. Montrer que la famille $\mathcal{B} = \{1 - X^2, X, X^2\}$ est une base de $E$ et déterminer la matrice $M'$ de $\varphi$ relativement à $\mathcal{B}$.

3. En déduire l'expression analytique, dans la base $\mathcal{B}$, de $\varphi$ ainsi que celle de sa forme quadratique $q$.

4. Un polynôme $P \in E$ est dit isotrope, par rapport à $q$, si $q(P) = 0$. Déterminer l'ensemble $C(q)$ des vecteurs isotropes de $E$. Est-il un sous-espace vectoriel de $E$ ? Justifier.

5. Déterminer une base du sous-espace vectoriel $F = \{P \in E \,/\, P(0) = 0\}$ de $E$. En déduire l'orthogonal $F^\perp$ de $F$ par rapport à $\varphi$.