مسابقة دكتوراه 2015 — Université Djilali Liabès - Sidi Bel Abbès — الموضوع 04

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle

Concours d'entrée en Doctorat 3ème cycle EDP — Épreuves : Analyse fonctionnelle / Équations de la physique mathématique / Analyse numérique et EDP / Analyse fonctionnelle et variationnelle, documents scannés mixtes 2012-2015 (insertion brute selon la règle demandée).

التمرين 1

Exercice 1 — Symboles pseudo-différentiels et stabilité par dérivation

#functional-analysis#pseudo-differential-operators#symbol-class

Soit $S^m$ l'ensemble des fonctions $p=p(x,\xi)$ , $C^\infty(\mathbb{R}^N\times\mathbb{R}^N)$ , telles que pour tous multi-indices $\alpha,\beta$ , il existe $C_{\alpha\beta}$ avec $|\partial_x^\beta\partial_\xi^\alpha p(x,\xi)| \leq C_{\alpha\beta}(1+|\xi|)^{m-|\alpha|}$ .

Vérifier que si $p_1 \in S^{m_1}$ et $p_2 \in S^{m_2}$ alors $p_1+p_2 \in S^{\max(m_1,m_2)}$ .
Vérifier que si $p \in S^m$ alors $\partial_\xi^\alpha p \in S^{m-|\alpha|}$ .
Vérifier que si $p \in S^m$ et $q \in S$ alors $pq \in S^{m+\alpha}$ (selon l'énoncé scanné).
Si $p_1 \in S^m$ est elliptique et $p_2 \in S^{m-\varepsilon}$ , montrer que $p_1+p_2$ est elliptique pour un certain domaine en $|\xi|$ .

◀الحل

Par définition des classes de symboles et estimations sur les dérivées. La somme préserve la classe dominante, la dérivation en $\xi$ fait baisser l'ordre, le produit additionne les ordres, et l'ellipticité est stable par perturbation d'ordre inférieur pour $|\xi|$ assez grand.

التمرين 2

Exercice 2 — Distribution homogène, valeur principale et équations xT=0, xT=1

#distributions#homogeneous-distributions#principal-value

La transformée de T par l'homothétie $h_\lambda$ de rapport $\lambda$ est définie par $\langle T\circ h_\lambda, \varphi\rangle = \frac{1}{|\lambda|}\langle T, \varphi\circ h_{1/\lambda}\rangle$ . On dit que $T$ est homogène de degré $p$ si $T\circ h_\lambda = \lambda^p T$ .

a. Montrer que les distributions $|x|$ , $\operatorname{sgn}(x)$ sont homogènes et déterminer leurs degrés. b. Même question pour $vp(1/x)$ et $Pf(1/x^2)$ .
Pour toute $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ , on définit

vp\left(\frac{1}{x}\right)(\varphi) = \int_0^{+\infty} \frac{\varphi(x)-\varphi(-x)}{x}dx.

a. Montrer que $xvp(1/x)=1$ . b. Résoudre dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ l'équation $xT=0$ . c. En déduire la solution dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ de $xT=1$ .

◀الحل

Les degrés d'homogénéité se lisent directement sous l'action de l'homothétie. La distribution $vp(1/x)$ vérifie $x\,vp(1/x)=1$ . Les solutions de $xT=0$ sont les multiples de $\delta_0$ , et celles de $xT=1$ sont de la forme $vp(1/x)+c\delta_0$ .

\boxed{xT=0 \iff T=c\delta_0, \quad xT=1 \iff T=vp(1/x)+c\delta_0}

التمرين 3

Exercice 3 — Problème de chaleur et estimation d'énergie

#pde#heat-equation#galerkin-method#energy-estimate

Soit $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ ouvert borné de classe $C^3$ et $g \in L^2(\Omega)$ . On considère

\begin{cases} u_t - \Delta u = 0 & x \in \Omega, \; t \in (0,T), \\\\ u(x,0)=g(x) & x \in \Omega, \\\\ u(x,t)=0 & x \in \partial\Omega. \end{cases}

a) Trouver une formulation variationnelle, construire le système de Galerkin et discuter l'existence d'une solution approchée $u_s$ .

b) Montrer que $\|\nabla u\|_{L^2(\Omega)} \leq \frac{1}{\sqrt{2t}}\|g\|_{L^2(\Omega)}$ pour tout $t \gt 0$ .

c) Si $g \in H_0^1(\Omega)$ , montrer que $\|\nabla u\|_{L^2(\Omega)} \leq e^{-\lambda_1 t}\|\nabla g\|_{L^2(\Omega)}$ .

◀الحل

Par méthode de Galerkin sur la base des fonctions propres du Laplacien. L'estimation énergétique standard donne : $\frac{d}{dt}\|u\|_2^2 + 2\|\nabla u\|_2^2 = 0$ , d'où la borne en $1/\sqrt{t}$ . Si $g \in H_0^1$ , la décomposition spectrale donne la décroissance exponentielle en fonction de la première valeur propre $\lambda_1$ .

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