مسابقة دكتوراه 2016 — جامعة جيلالي اليابس - سيدي بلعباس — الموضوع 01

Exercice 1

Trouver la solution générale des E.D.P suivantes :

$$u_{xx} - 2\sin x\, u_{xy} - \cos^2 x\, u_{yy} - \cos x\, u_y = 0,$$ $$x^2 u_{xx} - 2xy\, u_{xy} + y^2 u_{yy} + x u_x + y u_y = 0, \quad x > 0.$$

Exercice 2

En utilisant les coordonnées polaires et la méthode de séparation de variables de Fourier, déterminer la solution formelle de l'équation de Laplace

$$\begin{cases} u_{xx} + u_{yy} = 0 & \text{pour } x^2 + y^2 < 6, \\ u(x,y) = y^2 + y & \text{pour } x^2 + y^2 = 6. \end{cases}$$

Exercice 3

On considère le problème de l'équation des ondes amorties par un feedback frontière $q(u_t)$, où $q : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est une fonction non linéaire :

$$\begin{cases} u_{tt} - u_{xx} = 0 & x \in (0,1),\ t > 0, \\ u(0,t) = 0 & t > 0, \\ u_x(1,t) = -q(u_t(1,t)) & t > 0, \\ (u(x,0), u_t(x,0)) = (u_0(x), u_1(x)) & x \in (0,1). \end{cases}$$

On définit l'énergie de $u$ par :

$$E(t) = \frac{1}{2}\int_0^1 (u_t^2(x,t) + u_x^2(x,t))\,dx.$$

On s'intéresse au problème de la décroissance asymptotique de $E(t)$ lorsque $t \to +\infty$. On suppose $q : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue croissante définie sur un voisinage $[-s_0, s_0]$ de $0$ par :

$$\forall s \in [-s_0, s_0], \quad q(s) = s|s|^{p-1} \text{ avec } p > 1.$$

I) Soit $A_0 \in \mathbb{R}$ tel que $A_0 \neq 0$. On définit la suite réelle $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ par :

$$(*) \quad \forall n \in \mathbb{N}, \ A_{n+1} + A_n = -q(A_{n+1} - A_n).$$

1. Montrer que $(A_n^2)_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante et en déduire que $A_n \to 0$ lorsque $n \to +\infty$.