مسابقة دكتوراه 2016 — Université Kasdi Merbah

التمرين 1

Contraction sur R2 et système non linéaire

#point fixe#contraction#système non linéaire

On munit $\mathbb{R}^2$ de la norme $\|(x,y)\|_1=|x|+|y|$ et l'on définit

f(x,y)=\left(\tfrac14\sin(x+y),\ 1+\tfrac23\arctan(x-y)\right).

Montrer qu'il existe $k\in(0,1)$ tel que

\|f(x,y)-f(x',y')\|_1\le k\|(x,y)-(x',y')\|_1,

et en déduire que le système

\begin{cases} \tfrac14\sin(x+y)-x=0,\\[2pt] 1-y+\tfrac23\arctan(x-y)=0, \end{cases}

admet une unique solution dans $\mathbb{R}^2$ .

◀الحل

Les accroissements finis donnent, coordonnée par coordonnée,

|f_1(x,y)-f_1(x',y')|\le\tfrac14(|x-x'|+|y-y'|),

et de même pour $f_2$ avec le facteur $\tfrac23$ . En sommant, $f$ est lipschitzienne de rapport $k=\tfrac{2}{3}<1$ . Comme $\mathbb{R}^2$ est complet, le théorème du point fixe de Banach donne un unique point fixe, qui est l'unique solution du système.

التمرين 1

Base hilbertienne de Fourier de L² et calcul de ζ(2)

#hilbert-space#fourier-series#parseval#l2-space

On munit $I=[-\pi,\pi]$ de la mesure de Lebesgue et $L^2(I)$ du produit scalaire $\langle f,g\rangle=\int_{-\pi}^\pi f(t)g(t)\,dt$ . La famille $S=\{\frac1{\sqrt{2\pi}},\frac{\sin(nx)}{\sqrt\pi},\frac{\cos(nx)}{\sqrt\pi},n\ge1\}$ est une base hilbertienne de $L^2(I)$ . 1) Calculer $\langle x,\frac1{\sqrt{2\pi}}\rangle$ , $\langle x,\frac{\sin(nx)}{\sqrt\pi}\rangle$ , $\langle x,\frac{\cos(nx)}{\sqrt\pi}\rangle$ . 2) Montrer que $\big\|x+\sum_{k=1}^n(-1)^k\frac{2\sin(kx)}{k}\big\|_2\to0$ quand $n\to\infty$ . 3) Calculer $\|x\|_2^2$ et en déduire $\sum_{n\ge1}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6$ .

◀الحل

1) La fonction $x$ est impaire, donc $\langle x,\frac1{\sqrt{2\pi}}\rangle=0$ et $\langle x,\frac{\cos(nx)}{\sqrt\pi}\rangle=0$ . Pour le sinus, une intégration par parties donne $\int_{-\pi}^\pi x\sin(nx)dx=\frac{2\pi(-1)^{n+1}}n$ , donc $\langle x,\frac{\sin(nx)}{\sqrt\pi}\rangle=\frac{2\sqrt\pi(-1)^{n+1}}n$ .

2) Les coefficients de Fourier de $x$ sur la base sont exactement ceux du sinus ci-dessus, donc la somme partielle de sa série de Fourier est $\sum_{k=1}^n\frac{2(-1)^{k+1}}k\sin(kx)=-\sum_{k=1}^n(-1)^k\frac{2\sin(kx)}k$ . Par le théorème de convergence dans $L^2$ (base hilbertienne), $\big\|x-\text{(somme partielle)}\big\|_2\to0$ , ce qui est l'énoncé.

3) $\|x\|_2^2=\int_{-\pi}^\pi x^2dx=\frac{2\pi^3}3$ . Par Parseval, $\|x\|_2^2=\sum_{n\ge1}\big(\frac{2\sqrt\pi}n\big)^2=4\pi\sum_{n\ge1}\frac1{n^2}$ . En égalant, $4\pi\sum\frac1{n^2}=\frac{2\pi^3}3$ , d'où $\sum_{n\ge1}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6$ .

التمرين 2

Équivalence de deux normes sur C1 et complétude

#normes équivalentes#Banach#C1

Soit $E=C^1([0,1],\mathbb{R})$ . Pour $f\in E$ , on pose

N_1(f)=\sup_{[0,1]}|f|+\sup_{[0,1]}|f'|, \qquad N_2(f)=|f(0)|+\sup_{[0,1]}|f'|.

Montrer que $N_1$ et $N_2$ sont des normes équivalentes sur $E$ .
Montrer que $E$ , muni de l'une de ces normes, est un espace de Banach.

◀الحل

Comme $f(x)=f(0)+\int_0^x f'$ , on a $\sup|f|\le|f(0)|+\sup|f'|=N_2(f)$ , d'où $N_2\le N_1\le 2N_2$ . Elles sont donc équivalentes. Pour la complétude, si $(f_n)$ est de Cauchy, $(f_n')$ converge uniformément vers $g$ et $f_n(0)$ converge ; alors $f_n$ converge vers $f$ avec $f'=g$ , donc $f\in E$ .

التمرين 2

Polynômes de Legendre et projection orthogonale dans L²([-1,1])

#orthogonal-polynomials#legendre#orthogonal-projection#l2-space

On munit $L^2([-1,1])$ de $\langle f,g\rangle=\int_{-1}^1f(t)g(t)dt$ . 1) Vérifier que $X_0=\frac1{\sqrt2}$ , $X_1=\sqrt{\tfrac32}\,x$ , $X_2=\frac{\sqrt{10}}4(3x^2-1)$ sont orthogonaux deux à deux et calculer $\|X_1\|_2$ . 2) Soit $V=\operatorname{span}\{X_0,X_1,X_2\}$ et $P$ la projection orthogonale sur $V$ . Calculer $P(x^3)$ et $P(e^x)$ . 3) Expliquer sans calcul pourquoi $\int_{-1}^1x^4dx=\int_{-1}^1xP(x^3)dx$ et $\int_{-1}^1x^2e^xdx=\int_{-1}^1x^2P(e^x)dx$ .

◀الحل

1) Par parité les produits croisés $\langle X_0,X_1\rangle,\langle X_1,X_2\rangle$ sont nuls (intégrande impaire) et $\langle X_0,X_2\rangle=\frac{\sqrt{10}}{4\sqrt2}\int_{-1}^1(3x^2-1)dx=0$ . $\|X_1\|_2^2=\frac32\int_{-1}^1x^2dx=\frac32\cdot\frac23=1$ , donc $\|X_1\|_2=1$ (la famille est orthonormale).

2) $x^3$ est impair et orthogonal à $X_0,X_2$ (pairs) ; $\langle x^3,X_1\rangle=\sqrt{\tfrac32}\int_{-1}^1x^4dx=\sqrt{\tfrac32}\cdot\frac25$ . Donc $P(x^3)=\langle x^3,X_1\rangle X_1=\frac35x$ . Pour $e^x$ , $P(e^x)=\sum_{k=0}^2\langle e^x,X_k\rangle X_k$ ; en calculant $\int_{-1}^1e^xdx=e-e^{-1}$ , $\int_{-1}^1xe^xdx=2e^{-1}$ , $\int_{-1}^1(3x^2-1)e^xdx=...$ on obtient une combinaison explicite $P(e^x)=aX_0+bX_1+cX_2$ avec $a=\frac{e-e^{-1}}{\sqrt2}$ , $b=\sqrt{\tfrac32}\,2e^{-1}$ , $c=\frac{\sqrt{10}}4\int_{-1}^1(3x^2-1)e^xdx$ .

3) Car $P$ est la projection orthogonale : $\langle g,h\rangle=\langle g,Ph\rangle$ pour $g\in V$ . Comme $x\in V$ et $x^2\in V$ (degré $\le2$ ), $\int xP(x^3)=\langle x,P(x^3)\rangle=\langle x,x^3\rangle=\int x^4$ , et de même $\int x^2P(e^x)=\langle x^2,e^x\rangle=\int x^2e^x$ .

التمرين 3

Partie finie de x_+^{-2} et de x_+^lambda

#distributions#partie finie#Heaviside

On note $x_+=H(x)x$ , où $H$ est la fonction de Heaviside.

Définir la distribution $\mathrm{pf}(x_+^{-2})$ .
Calculer $x\,\mathrm{pf}(x_+^{-2})$ .
Calculer la dérivée au sens des distributions de $\mathrm{pf}(x_+^{-2})$ .
Pour $-2<\lambda<-1$ , montrer que pour tout $\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R})$ ,

\int_\varepsilon^{\infty}x^\lambda\varphi(x)\,dx=A\varepsilon^{\lambda+1}+R_\varepsilon,

où $A$ ne dépend pas de $\varepsilon$ et $R_\varepsilon$ admet une limite quand $\varepsilon\to0$ . On pose $\langle \mathrm{pf}(x_+^\lambda),\varphi\rangle=\lim_{\varepsilon\to0}R_\varepsilon$ ; montrer que $\mathrm{pf}(x_+^\lambda)$ est une distribution et préciser son ordre.

◀الحل

On définit $\langle\mathrm{pf}(x_+^{-2}),\varphi\rangle=\lim_{\varepsilon\to0}\bigl(\int_\varepsilon^\infty x^{-2}\varphi(x)\,dx-\tfrac{\varphi(0)}\varepsilon\bigr)$ . On vérifie $x\,\mathrm{pf}(x_+^{-2})=\mathrm{pf}(x_+^{-1})=\mathrm{vp}$ associée à $H/x$ , et $\frac{d}{dx}\mathrm{pf}(x_+^{-2})=-2\,\mathrm{pf}(x_+^{-3})$ (à une masse en $0$ près selon la régularisation). Pour $-2<\lambda<-1$ , l'intégration par parties isole le terme divergent $A\varepsilon^{\lambda+1}$ avec $A=-\varphi(0)/(\lambda+1)$ ; le reste $R_\varepsilon$ converge, ce qui définit une distribution d'ordre $1$ .

التمرين 3

Égalité presque partout de fonctions continues et masse de Dirac

#measure-theory#lebesgue-measure#dirac-measure#almost-everywhere

Soient $f,g$ deux fonctions continues de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ et $\lambda$ la mesure de Lebesgue. 1) Montrer que $f=g$ $\lambda$ -p.p. si et seulement si $f=g$ . 2) Soit $\delta_0$ la mesure de Dirac en $0$ . Montrer que $f=g$ $\delta_0$ -p.p. si et seulement si $f(0)=g(0)$ .

◀الحل

1) Si $f=g$ partout, alors trivialement $\lambda$ -p.p. Réciproquement, supposons $f=g$ sauf sur un $\lambda$ -négligeable $N$ . Si $f(x_0)\ne g(x_0)$ pour un $x_0$ , par continuité $f-g\ne0$ sur un voisinage ouvert de $x_0$ , de mesure de Lebesgue strictement positive, contenu dans $N$ : contradiction. Donc $f=g$ partout.

2) $\delta_0(A)=1$ si $0\in A$ , $0$ sinon. Un ensemble est $\delta_0$ -négligeable ssi il ne contient pas $0$ . Donc $f=g$ $\delta_0$ -p.p. signifie que $\{f\ne g\}$ ne contient pas $0$ , i.e. $f(0)=g(0)$ .

التمرين 4

Valeur principale de cos(lambda x)/x

#distributions#valeur principale#limite

Soit $\lambda\in\mathbb{R}$ . Pour $\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R})$ , on pose

\left\langle \mathrm{vp}\!\left(\frac{\cos\lambda x}{x}\right),\varphi\right\rangle =\lim_{\varepsilon\to0}\int_{|x|\ge\varepsilon}\frac{\cos\lambda x}{x}\varphi(x)\,dx.

Montrer que c'est une distribution et préciser son ordre.
Calculer $\displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty}\mathrm{vp}\!\left(\frac{\cos\lambda x}{x}\right)$ .

◀الحل

Par imparité de $1/x$ , on écrit $\int_{|x|\ge\varepsilon}\frac{\cos\lambda x}{x}\varphi(x)\,dx=\int_{|x|\ge\varepsilon}\frac{\cos\lambda x}{x}(\varphi(x)-\varphi(0))\,dx$ , car le terme en $\varphi(0)$ s'annule par symétrie. La borne $|\varphi(x)-\varphi(0)|\le\|\varphi'\|_\infty|x|$ montre la convergence et une estimation en $\|\varphi\|_{C^1}$ , donc une distribution d'ordre $1$ . Par le lemme de Riemann-Lebesgue, quand $\lambda\to+\infty$ la distribution tend vers $0$ .

التمرين 4

Somme de deux mesures et intégrabilité

#measure-theory#integration#sum-of-measures

Soient $m_1,m_2$ deux mesures positives sur l'espace mesurable $(E,T)$ . 1) Montrer que $m=m_1+m_2$ est une mesure. 2) Soit $f$ une application mesurable de $E$ dans $\mathbb R$ . Montrer que $f$ est intégrable pour $m$ si et seulement si elle l'est pour $m_1$ et $m_2$ , et que dans ce cas $\int f\,dm=\int f\,dm_1+\int f\,dm_2$ .

◀الحل

1) $m(\varnothing)=0$ et pour une union dénombrable disjointe $(A_n)$ , $m(\bigsqcup A_n)=m_1(\bigsqcup A_n)+m_2(\bigsqcup A_n)=\sum m_1(A_n)+\sum m_2(A_n)=\sum m(A_n)$ par $\sigma$ -additivité de $m_1,m_2$ . Donc $m$ est une mesure.

2) Pour $f\ge0$ étagée, $\int f\,dm=\int f\,dm_1+\int f\,dm_2$ par linéarité finie ; par convergence monotone, l'égalité s'étend à toute $f\ge0$ mesurable. Appliquée à $|f|$ , elle donne $\int|f|\,dm=\int|f|\,dm_1+\int|f|\,dm_2$ , donc $f$ est $m$ -intégrable ssi elle est $m_1$ - et $m_2$ -intégrable. En décomposant $f=f^+-f^-$ , on obtient $\int f\,dm=\int f\,dm_1+\int f\,dm_2$ .

التمرين 5

Existence d'une minorante intégrable d'une famille exponentielle

#measure-theory#l1-space#integrability

Existe-t-il une fonction $f\in L^1(\mathbb R)$ telle que pour tout $n\ge0$ , $n\,e^{-n|x|}\le f(x)$ presque partout ? Si oui, déterminer $f$ .

◀الحل

Non. Supposons qu'une telle $f$ existe. Pour $x\ne0$ fixé, $n e^{-n|x|}\to0$ , ce qui ne contraint pas ponctuellement. Mais intégrons : $\int_{\mathbb R}n e^{-n|x|}dx=n\cdot\frac2n=2$ pour tout $n$ , donc chaque minorante a une masse $2$ . Considérons plutôt le sup : $g(x)=\sup_{n\ge0}n e^{-n|x|}$ . En optimisant en $n$ (dérivée de $n\mapsto n e^{-n|x|}$ nulle en $n=1/|x|$ ), $g(x)=\frac1{e|x|}$ pour $x\ne0$ . Or $\int_{\mathbb R}\frac1{e|x|}dx=+\infty$ (divergence en $0$ et à l'infini). Toute $f$ majorant tous les $n e^{-n|x|}$ majore $g$ , donc $\int f\ge\int g=+\infty$ : $f\notin L^1$ . Il n'existe donc pas de telle $f$ intégrable.