مسابقة دكتوراه 2021 — جامعة جيلالي اليابس - سيدي بلعباس — الموضوع 01

Exercice 1. (6 points)

Pour tout entier $n$ de $\mathbb{N}^*$, on pose

$$J_n = \int_0^{+\infty} \frac{dx}{(1+x^3)^n}.$$

1. Montrer que $J_n$ existe et vérifier que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $J_n > 0$.
2. Établir une relation de récurrence entre $J_n$ et $J_{n+1}$.
3. Étudier la monotonie de la suite $(J_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et en déduire qu'elle est convergente.

Exercice 2. (6 points)

On sélectionne les candidats à un jeu télévisé en les faisant répondre à dix questions. Ils devront choisir, pour chacune des questions, parmi quatre affirmations, celle qui est exacte. Un candidat se présente et répond à toutes les questions au hasard. On appelle $X$ la variable désignant le nombre de réponses exactes données par ce candidat à l'issue du questionnaire.

1. Quelle est la loi de probabilité de $X$ ? Calculer son espérance et sa variance.
2. Calculer la probabilité pour qu'il fournisse au moins 8 bonnes réponses.

Exercice 3. (8 points)

Soit l'espace $\mathbb{E}$ défini par

$$\mathbb{E} = \ell^2 = \{ x = (x_n)_{n \in \mathbb{N}^*} : \sum_{n=1}^{+\infty} |x_n|^2 < +\infty \},$$

et muni de la norme

$$\|(x_n)\|_{\ell^2} = \left( \sum_{n=1}^{+\infty} |x_n|^2 \right)^{\frac{1}{2}}.$$

Soit $(\lambda_n)_{n \ge 1}$ une suite bornée dans $\mathbb{C}$ et $M = \sup_n |\lambda_n|$. Soit $T : \ell^2 \to \ell^2$ définie par : $Tx = y$, avec $y = (\lambda_n x_n)_{n \ge 1}$ si $x = (x_n)_{n \ge 1} \in \mathbb{E}$.

1. Montrer que $T$ est linéaire, continue et calculer sa norme.
2. Montrer que si l'ensemble $\{ |\lambda_n|,\ n \ge 1 \}$ est minoré par un nombre strictement positif, alors $T$ est bijective. Préciser dans ce cas $T^{-1}$ et déterminer sa norme.
3. On suppose que l'un des $\lambda_n$ est nul. Montrer que $T$ n'est ni injective ni surjective et que $\overline{\mathrm{Im}\, T} \neq \mathbb{E}$.