مسابقة دكتوراه 2016 — Université Dr Moulay Tahar - Saïda — الموضوع 04

Soit $K:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une fonction quelconque et soit $h$ un réel positif. On considère l'estimateur à noyau

$\widehat f_h=\frac{1}{nh}\sum_{i=1}^n K\!\left(\frac{X_i-x}{h}\right)$

avec $K$ le noyau de cet estimateur et $h$ la fenêtre.

1. (I) Montrer que si $K$ est positive et $\int_{\mathbb{R}}K(u)\,du=1$, alors $\widehat f_h(\cdot)$ est une densité de probabilité. De plus, $\widehat f_h$ est continue si $K$ est continue.

2. (II) On suppose que $K$ vérifie les 4 conditions suivantes : a. $\int_{\mathbb{R}}K(u)\,du=1$ ; b. $K$ est paire ou, plus généralement, $\int_{\mathbb{R}}uK(u)\,du=0$ ; c. $\int_{\mathbb{R}}u^2|K(u)|\,du\lt\infty$ ; d. $\int_{\mathbb{R}}(K(u))^2\,du\lt\infty$.

   Puis :

   1. Si les trois premières conditions sont remplies et $f$ est une densité bornée dont la dérivée seconde est bornée, alors $|\mathrm{Biais}(\widehat f_h(x))|\le C_1 h^2$ où $C_1=\tfrac12\sup_{z\in\mathbb{R}}|f''(z)|\int_{\mathbb{R}}u^2|K(u)|\,du$.
   2. Si de plus la condition 4 est satisfaite, alors $\mathrm{Var}(\widehat f_h(x))\le\dfrac{C_2}{nh}$, avec $C_2=\sup_{z\in\mathbb{R}}f(z)\int_{\mathbb{R}}(K(u))^2\,du$.
   3. Donner les expressions asymptotiques de l'erreur quadratique moyenne (MSE) et l'expression exacte de l'erreur quadratique moyenne intégrée (MISE) de l'estimateur à noyau.