مسابقة دكتوراه 2018 — Université Dr Moulay Tahar - Saïda — الموضوع 03

Soient $D$ le disque unité ouvert de $\mathbb{R}^2$, $g$ continue sur $\partial D$, $\Delta$ le Laplacien et $\eta$ la normale extérieure. On considère

$ \begin{cases} \Delta u(x,y)=\dfrac{1+xy}{1+x^2+y^2}, & \text{dans }D,\ \dfrac{\partial u}{\partial\eta}=g, & \text{sur }\partial D. \end{cases}

1. Étudier l’unicité de la solution.
2. Rappeler quelques méthodes de résolution du problème de Neumann.

On considère

$ \begin{cases} u_{tt}(t,x)-2u_{xx}(t,x)=0, & t\geq0,\ x\geq0,\ u(0,x)=\varphi(x), & x\geq0,\ u_t(0,x)=\psi(x), & x\geq0, \end{cases}

o├╣ $\varphi\in C^2$ et $\psi\in C^1$.

1. Trouver toutes les solutions de $u_{tt}=2u_{xx}$ pour $x\in\mathbb{R}$.
2. Montrer que le problème sur la demi-droite est mal posé.
3. Trouver toutes ses solutions.
4. Montrer que le problème

$
\begin{cases}
u_{tt}-2u_{xx}=0, & t\geq0,\ x\geq0,\\
u(0,x)=1+x,\\
u_t(0,x)=e^x,\\
u(t,0)=0,
\end{cases}

est bien posé et le résoudre.

On considère

$ x^2u_{xx}-2xyu_{xy}+y^2u_{yy}-u_x=0.

1. Montrer que lΓÇÖEDP est parabolique sur $\mathbb{R}^2$.
2. Montrer que les courbes caractéristiques sont données par $xy=\text{constante}$.
3. Vérifier que le changement de variables

$
\xi=xy,\qquad \eta=x

est régulier. 4. Trouver l’équation réduite.