مسابقة دكتوراه 2019 — جامعة الشهيد حمه لخضر - الوادي — الموضوع 01

On veut calculer la limite

$$l = \lim_{n \to +\infty} \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n} \right).$$

1. Montrer l'existence de la limite $l$.

2. Soit $f : [0, +\infty[ \to \mathbb{R}$ une fonction dérivable telle que $f(0) = 0$. Montrer que

$$\lim_{n \to \infty} \left( f\!\left(\frac{1}{n+1}\right) + f\!\left(\frac{1}{n+2}\right) + \cdots + f\!\left(\frac{1}{2n}\right) \right) = l f'(0).$$

3. On prend $f(x) = \ln(x+1)$. Déterminer $l$.

Soient $A$ un sous-ensemble compact d'un espace métrique $(X, d)$ et $B \subset X$.

1. Montrer qu'il existe $p \in A$ tel que $d(p, B) = d(A, B)$.

2. Déduire que, si $B$ est un fermé disjoint de $A$ ($A \cap B = \varnothing$), alors $d(A, B) > 0$.

On désigne par $C([0,1]; \mathbb{R}_+^*)$ l'ensemble des fonctions continues de $[0,1]$ vers $\mathbb{R}_+^*$. Pour $f \in C([0,1]; \mathbb{R}_+^*)$, on pose

$$M_f = \int_0^1 f(x)\,dx \cdot \int_0^1 \frac{1}{f(x)}\,dx.$$

1. Montrer que l'ensemble $X = \{ M_f \; ; \; f \in C([0,1]; \mathbb{R}_+^*) \}$ possède une borne inférieure et la déterminer.

2. Déterminer l'ensemble des éléments de $C([0,1]; \mathbb{R}_+^*)$ pour lesquels $M_f = \inf X$.

3. L'ensemble $X$ possède-t-il une borne supérieure ?