مسابقة دكتوراه 2019 — Université Ferhat Abbas - Sétif 1 — الموضوع 01

On considère l'équation différentielle suivante :

$$y''' + 4y'' = -5xy' - 2y - 3\sin x.$$

1- Écrire cette équation sous la forme normale. (1 point)

2- Dire si cette équation différentielle est linéaire ou non et donner son ordre (justifier). (3 points)

Trouver la solution de l'équation différentielle

$$y' = y''$$

sous forme d'une série entière $\left( \text{On pose } y(x) = \sum_{n \ge 0} a_n x^n \right)$.

a- Soit l'équation différentielle suivante :

$$\frac{dy}{dx} - p(x)y = q(x) + s(x)y^2, \qquad (F_1)$$

où $p, q$ et $s$ sont des fonctions continues sur un intervalle $I \subset \mathbb{R}$.

1- Quel est le type de cette équation $(F_1)$ ? Justifier. (1 point)

2- Par le changement de variable $y = y_p + u$ telle que $y_p$ est une solution particulière de $(F_1)$, montrer que $u$ vérifie

$$u' - p(x)u = 2s(x)y_p u + s(x)u^2. \qquad (F_2)$$

(1.5 point)

3- Quel est le type de l'équation $(F_2)$ ? Justifier. (1.5 point)

4- Résoudre l'équation $(F_2)$ en déterminant l'intervalle $I$ du mieux possible. (2 points)

b- Soit l'équation différentielle suivante :

$$y' = -\frac{4}{x^2} - \frac{1}{x}y + y^2 \quad \text{avec} \quad y(1) = 1. \qquad (E)$$

1- Donner l'intervalle maximal $I$ sur lequel on peut résoudre $(E)$. (1 point)

2- Justifier l'existence et l'unicité de la solution. (1.5 point)

3- Trouver $\alpha \in \mathbb{R}$ telle que $y_p = \dfrac{\alpha}{x}$ soit une solution particulière. (1 point)

4- Résoudre l'équation $(E)$. Est-ce que la solution est maximale ou globale dans $\mathbb{R}$ ? (2.5 points)