مسابقة دكتوراه 2019 — Université Ferhat Abbas - Sétif 1 — الموضوع 03

Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\mathbb{R}^N$, $1<p<\infty$. On suppose

$ f_n\to f\quad\text{dans }L^p(\Omega)

et

$
g_n\rightharpoonup g\quad\text{faiblement dans }L^{p'}(\Omega),\qquad \frac1p+\frac1{p'}=1.

Démontrer que

$ \int_\Omega f_ng_n,dx\to\int_\Omega fg,dx.

Indication : utiliser l’inégalité de Hölder.

On se donne $f,a\in C^0([0,1])$ et $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$, avec $a(x)\geq0$. On considère

$ \begin{cases} -u''(x)+a(x)u(x)=f(x), & 0<x<1,\ u(0)=\alpha,\ u(1)=\beta. \end{cases}

Démontrer que la solution vérifie

$
\lvert u(x)\rvert\leq\lvert\alpha\rvert(1-x)+\lvert\beta\rvert x+\frac12x(1-x)\lVert f\rVert_{L^\infty(0,1)},\qquad x\in[0,1].
``$

Soient $\alpha<\beta$ et $f$ une fonction convexe croissante sur $I=[\alpha,\beta]$, telle que

$ f(\alpha)<0<f(\beta).

Il existe alors un unique $\zeta\in I$ tel que $f(\zeta)=0$. Partant de $x_0\in I$, on itère : si $f(x_n)=0$, on arrête ; sinon on choisit $x_n^*\in\partial f(x_n)$ et on définit

$
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{x_n^*}.

Étudier la bonne définition, la monotonie et la convergence de cet algorithme vers $\zeta$.