مسابقة دكتوراه 2019 — Université des Sciences et de la Technologie d'Oran (USTO) — الموضوع 03

Soit $f$ la fonction $2\pi$ périodique défini par

$f(x) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & \text{si } -\pi \leq x \leq 0 \\ 1 & \text{si } 0 < x < \pi \end{array}\right.$

1. Dessiner $f$ sur trois périodes.

2. Ecrire la série de Fourier associée à $f$.

3. En déduire la somme de la série suivante :

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n-1}$

Soit $a \in \mathbb{R}$, $b \in \mathbb{R}$ et la matrice

$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

1. Donner les valeurs de $a$ et $b$ pour les quelles la décomposition de Dunford de $A$ est

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

2. On suppose dans la suite que $a \neq 0$ et $b = 1$.

a) Déterminer les sous espaces propres et les sous espaces caractéristiques de $A$.

b) Trouver $D$ diagonale et $N$ nilpotente telle que $D$ commute avec $N$ et $A = D + N$.

3. Soit le système différentiel suivant :

$(S) \left\{\begin{array}{l} x'(t) = x(t) + 2y(t) \\ y'(t) = y(t) + z(t) \\ z'(t) = 2z(t) \end{array}\right.$

Trouver les solutions de $(S)$.