مسابقة دكتوراه 2013 — Université Frères Mentouri - Constantine 1 — الموضوع 05

On compare à la forme générale $A(x,y)u_{xx}+2B(x,y)u_{xy}+C(x,y)u_{yy}=0,$ ici $A=y$, $B=0$, $C=1$. Le discriminant vaut $\Delta=B^2-AC=-y.$ Donc :

• si $y>0$, alors $\Delta<0$ : l'équation est elliptique ;
• si $y=0$, alors $\Delta=0$ : elle est parabolique ;
• si $y<0$, alors $\Delta>0$ : elle est hyperbolique. C'est une équation de type mixte.

Les deux premières se calculent classiquement par résidus.

Pour $\lambda>0$, on ferme dans le demi-plan supérieur. Le pôle double en $z=i$ de $f(z)=\frac{e^{i\lambda z}}{(z^2+1)^2}$ donne $\int_{\mathbb R}\frac{e^{i\lambda x}}{(x^2+1)^2}dx=\frac{\pi}{2}(1+\lambda)e^{-\lambda}.$ Par symétrie, pour tout $\lambda\in\mathbb R$ : $\boxed{\int_{\mathbb R}\frac{e^{i\lambda x}}{(x^2+1)^2}dx=\frac{\pi}{2}(1+|\lambda|)e^{-|\lambda|}.}$ En particulier, $\int_{\mathbb R}\frac{\cos x}{x^2+1}dx=\Re\int_{\mathbb R}\frac{e^{ix}}{x^2+1}dx=\pi e^{-1}.$

La troisième intégrale, telle qu'elle apparaît sur le scan, est ambiguë/partiellement illisible. Si l'on lit $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^x+\sqrt2}{x^4+1}dx,$ elle diverge à cause du terme $e^x$ quand $x\to+\infty$. Le sujet imprimé devait vraisemblablement être une variante trigonométrique ou complexe standard. On retient donc, d'après les deux intégrales clairement lisibles : $\boxed{\int_{\mathbb R}\frac{e^{i\lambda x}}{(x^2+1)^2}dx=\frac{\pi}{2}(1+|\lambda|)e^{-|\lambda|},\qquad \int_{\mathbb R}\frac{\cos x}{x^2+1}dx=\pi e^{-1}.}$

Pour $1\le p<\infty$, l'expression $\|f\|_p=\left(\int_0^{+\infty}|f(x)|^pdx\right)^{1/p}$ est bien une norme sur $L^p(0,+\infty)$ : positivité, homogénéité et inégalité triangulaire (Minkowski). L'espace obtenu est le Banach classique $L^p(0,+\infty)$.

Pour résoudre $y''+y'+y=t,\qquad y(0)=y'(0)=0,$ on applique la transformée de Laplace. Si $Y(s)=\mathcal L(y)(s)$, on obtient $s^2Y(s)+sY(s)+Y(s)=\frac1{s^2},$ soit $Y(s)=\frac{1}{s^2(s^2+s+1)}.$ On décompose en éléments simples : $\frac{1}{s^2(s^2+s+1)}=\frac{-1}{s}+\frac{1}{s^2}+\frac{s}{s^2+s+1}.$ En complétant le carré, $s^2+s+1=\left(s+\frac12\right)^2+\frac34,$ et on écrit $\frac{s}{s^2+s+1}=\frac{s+\frac12}{(s+\frac12)^2+(\frac{\sqrt3}{2})^2}-\frac{1/2}{(s+\frac12)^2+(\frac{\sqrt3}{2})^2}.$ On inverse terme à terme : $y(t)=-1+t+e^{-t/2}\cos\left(\frac{\sqrt3}{2}t\right)-\frac1{\sqrt3}e^{-t/2}\sin\left(\frac{\sqrt3}{2}t\right).$ Ainsi $\boxed{y(t)=t-1+e^{-t/2}\left(\cos\frac{\sqrt3 t}{2}-\frac{1}{\sqrt3}\sin\frac{\sqrt3 t}{2}\right).}$