مسابقة دكتوراه 2013 — Université Hadj Lakhdar - Batna 1

Soit $(e_i)_{i\in\mathbb{N}}$ une suite orthonormée dans un espace de Hilbert $H$. On définit

$$H_n=\operatorname{Vect}\{e_1,e_2,\ldots,e_n\}$$

et

$$P_n:H\to H_n,\qquad P_nx=\sum_{i=1}^{n}(x,e_i)e_i.$$

1. Montrer que $P_n$ est linéaire, borné et que $\lVert P_n\rVert\leq1$.

2. Calculer $P_n^*$ et montrer que $P_n\geq0$ et que

$$(P_nx,x)=\lVert P_nx\rVert^2,$$

pour tout $x\in H$.

3. Montrer que, pour $m\geq n$,

$$P_mP_n=P_n$$

et

$$\lVert P_mx\rVert\geq\lVert P_nx\rVert,\qquad \forall x\in H.$$

4. Étudier la convergence de la suite $(P_n)_{n\in\mathbb{N}}$.

Soient $X$ et $Y$ deux espaces de Banach et $A:X\to Y$ un opérateur linéaire borné. On note $R(A)$ l’image de $A$ et on suppose que

$$\dim\left(Y/R(A)\right)=n<\infty.$$

1. Montrer que si $(\overline y_1,\ldots,\overline y_n)$ est une base de l’espace quotient $Y/R(A)$, alors $(y_1,\ldots,y_n)$ est un système libre de $Y$.

2. Soit

$$N=\operatorname{Vect}(y_1,\ldots,y_n).$$

Montrer que

$$Y=R(A)\oplus N.$$

3. Montrer que $R(A)$ est fermé dans $Y$.

On considère $\mathbb{R}^n$ muni de la norme

$$\lVert x\rVert=\sum_{i=1}^{n}\lvert x_i\rvert.$$

On définit l’application linéaire $A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ de matrice $(a_{ij})$ telle que, pour tout $j=1,\ldots,n$,

$$\sum_{i=1}^{n}a_{ij}=1,\qquad a_{ij}\geq0.$$

1. Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}^n$,

$$\lVert Ax\rVert\leq\lVert x\rVert.$$

2. Soit

$$C=\left\{x\in\mathbb{R}^n:x_i\geq0,\ \sum_{i=1}^{n}x_i=1\right\}.$$

Montrer que $C$ est un convexe compact de $\mathbb{R}^n$ et que, pour tout $x\in C$,

$$\lVert Ax\rVert=\lVert x\rVert.$$

3. En notant

$$C_k=A^k(C),\qquad k=0,1,2,\ldots,$$

montrer que $(C_k)$ est une suite décroissante dont l’intersection $D$ est non vide, et vérifier que

$$A(D)=D.$$