مسابقة دكتوراه 2013 — Université Mohammed Seddik Benyahia - Jijel — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle

FB_IMG_1529450638730.pdf, concours du 26 octobre 2013, épreuve 2 d'analyse

التمرين 1

Convexité d'une fonction définie par un épigraphe

#convexité#épigraphe

Soit $E$ un espace vectoriel et soit $A\subset E\times\mathbb{R}$ un ensemble convexe. On définit

f(x)=\inf\{\lambda:(x,\lambda)\in A\}.

Montrer que $f$ est convexe.

◀الحل

Pour $x,y\in E$ , $t\in[0,1]$ et $\varepsilon>0$ , choisir $\lambda_x<f(x)+\varepsilon$ et $\lambda_y<f(y)+\varepsilon$ avec $(x,\lambda_x),(y,\lambda_y)\in A$ . La convexité de $A$ donne

(tx+(1-t)y,t\lambda_x+(1-t)\lambda_y)\in A.

Ainsi

f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y)+\varepsilon.

Puis on fait tendre $\varepsilon$ vers $0$ .

التمرين 2

Semi-continuité supérieure d'une multifonction

#multifonction#semi-continuité

Soient $X,Y$ des espaces normés et $F:X\to\mathcal{P}(Y)$ une multifonction.

Montrer que

F\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)=\bigcup_{i\in I}F(A_i).

Montrer que si $F$ est semi-continue supérieurement en $x_0$ , alors elle est $\varepsilon$ -semi-continue supérieurement en $x_0$ , c'est-à-dire que pour tout $\varepsilon>0$ , il existe $\delta>0$ tel que

F(x_0+\delta B)\subset F(x_0)+\varepsilon B.

◀الحل

La première égalité découle directement de la définition de l'image d'un ensemble. Pour la seconde, l'ensemble $U=F(x_0)+\varepsilon B$ est un voisinage ouvert de $F(x_0)$ . La semi-continuité supérieure fournit un voisinage $V$ de $x_0$ tel que $F(V)\subset U$ . Il existe alors $\delta>0$ avec $x_0+\delta B\subset V$ , d'où le résultat.

التمرين 3

Nombre de zéros de polynômes dans un disque

#Rouché#analyse complexe#zéros

Déterminer le nombre de racines, comptées avec multiplicité, des équations suivantes dans le disque indiqué :

$z^6-6z+10=0$ dans $|z|<1$ .
$z^7-5z+1=0$ dans $|z|<2$ .

◀الحل

Sur $|z|=1$ , on a $|z^6-6z|\le7<10$ , donc par Rouché le premier polynôme a autant de zéros que la constante $10$ , soit aucun dans $|z|<1$ .

Sur $|z|=2$ ,

|{-5z+1}|\le11<128=|z^7|.

Le second polynôme a donc autant de zéros que $z^7$ , soit $7$ zéros dans $|z|<2$ .

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