مسابقة دكتوراه 2023 — Université M'Hamed Bougara - Boumerdès — الموضوع 02

Soit $\Omega$ un ensemble localement compact. On définit l'espace de Banach $X = C_0(\Omega)$ muni de la norme $\|f\| = \displaystyle\sup_{s \in \Omega} |f(s)|$ par

$$X = \{f \in C(\Omega) : \text{ pour tout } \epsilon > 0, \text{ il existe un compact } K \subset \Omega \text{ tq : } |f(s)| < \epsilon, \; \forall s \in \Omega \setminus K\}$$

On appelle opérateur de multiplication l'opérateur $M_q$ défini sur $X$ par : $M_q f = q \cdot f$; $q : \Omega \to \mathbb{C}$ une fonction continue et $f \in D(M_q)$ avec

$$D(M_q) = \{f \in X : q \cdot f \in X\}.$$

Montrer que

1. L'opérateur $(M_q, D(M_q))$ est fermé à domaine dense.

2. L'opérateur $M_q$ est borné avec $D(M_q) = X$ si et seulement si $q$ est borné.

3. $M_q$ admet un inverse borné i.e. $0 \notin \overline{q(\Omega)}$ si et seulement si la fonction $q$ est inversible avec un inverse borné et on a $M_q^{-1} = M_{1/q}$.

4. Le spectre de $M_q$ est l'image fermée de $q$ i.e. $\sigma(M_q) = \overline{q(\Omega)}$.

5. Pour toute fonction $q : \Omega \to \mathbb{C}$ continue et satisfaisant $\displaystyle\sup_s \|q(s)\| < +\infty$, on associe la fonction exponentielle : $e^{tq} : s \longmapsto e^{tq(s)}$, $s \in \Omega$, $t \geq 0$. Montrer que la multiplication d'opérateurs correspondante :

$$T_q(t) f = e^{tq} f, \quad f \in X,$$

vérifie les conditions d'un semi-groupe sur $X$ fortement continu. Calculer son générateur infinitésimal.

Soit $A : D(A) \subset X \to X$ un générateur infinitésimal d'un semi-groupe fortement continu $(T(t))_{t \geq 0}$. On considère un second opérateur $B : D(B) \subset X \to X$ linéaire continu ($B \in \mathscr{L}(X)$).

2.1. Montrer que l'opérateur $C = A + B$ avec $D(C) = D(A)$ génère un semi-groupe sur $X$ fortement continu $(S(t))_{t \geq 0}$ vérifiant $\|S(t)\| \leq e^{\|B\| t}$ pour tout $t \geq 0$.

2.2. Montrer que $(S(t))_{t \geq 0}$ peut se mettre sous la forme

$$S(t)x = T(t)x + \int_0^t T(t - s) B S(s) x \, ds,$$

de plus on a $\|S(t) - T(t)\| \leq t \cdot M$, $M$ une constante à déterminer.

Application (5 pts)

Soit $a$ une constante positive. On suppose que $u_0 \in L^2(]0, 1[)$. Utiliser la théorie des semi-groupes pour montrer que le système d'équations :

$$\begin{cases} u_t(t, x) + a u_x(t, x) - u_{xx}(t, x) + u(t, x) = 0, & \text{dans } (0, T) \times (0, 1) \\ u(t, 0) = 0, \; u_x(t, 1) = 0, \\ u(0, x) = u_0. \end{cases} \tag{1}$$

admet une solution unique dans un espace à préciser. Donner les estimations correspondantes.