مسابقة دكتوراه 2025 — Université M'Hamed Bougara - Boumerdès

Soit $X = C([0,1], \mathbb{R})$ l'espace des fonctions continues sur $[0,1]$ muni de la norme $\|f\|_\infty = \sup_{x \in [0,1]} |f(x)|$. Considérons l'opérateur $T : X \to X$ défini par :

$$T(f)(x) = \frac{1}{2} \int_0^x f(t)\,dt.$$

1. Montrer que $T$ est une contraction.

2. Trouver le point fixe de $T$.

Soit $E$ l'espace des fonctions continues de $[-1,1]$ dans $\mathbb{R}$.

1. Montrer que $\mathbb{R}$ muni de la norme usuelle est un espace complet (on admet le théorème de Weierstrass).

2. On définit une norme sur $E$ en posant

$$\|f\|_1 = \int_{-1}^{1} |f(t)|\,dt.$$

On va montrer que $E$ n'est pas complet. Pour cela on définit une suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ par

$$f_n(t) = \begin{cases} -1 & \text{si } -1 \le t \le -\dfrac{1}{n} \\[4pt] nt & \text{si } -\dfrac{1}{n} \le t \le \dfrac{1}{n} \\[4pt] 1 & \text{si } \dfrac{1}{n} \le t \le 1 \end{cases}$$

a) Vérifier que $f_n \in E$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.

b) Montrer que $\|f_p - f_q\|_1 \le \sup\left(\dfrac{1}{p}, \dfrac{1}{q}\right)$, et en déduire que $(f_n)$ est de Cauchy.

c) On suppose que $(f_n)_n$ converge vers $f$ dans $(E, \|\cdot\|_1)$. Montrer que pour tout $\alpha \in \left]0,1\right[$,

$$\lim_{n \to +\infty} \int_{-1}^{-\alpha} |f_n(t) - f(t)|\,dt = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} \int_{\alpha}^{1} |f_n(t) - f(t)|\,dt = 0.$$

d) Montrer que pour tout $\alpha \in \left]0,1\right[$,

$$\lim_{n \to +\infty} \int_{-1}^{-\alpha} |f_n(t) + 1|\,dt = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} \int_{\alpha}^{1} |f_n(t) - 1|\,dt = 0.$$

En déduire que

$$f(t) = \begin{cases} -1 & \text{si } -1 \le t < 0 \\ 1 & \text{si } 0 < t \le 1 \end{cases}$$

Conclure.