مسابقة دكتوراه 2025 — Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued

Soit $u$ une fonction définie sur $[0,\frac{\pi}{2}]$.

On définit l'opérateur $L$ par

$$L(x,u,u') := (u'(x))^2 + 2\sin(x)\,u(x)$$

et soit la fonctionnelle $J$ définie par

$$J(u) := \int_0^{\pi/2} L(x,u,u')\,dx.$$

D'après le principe d'Euler–Lagrange, le minimum de $J$ est atteint par la fonction $u$ qui satisfait

$$(P):\qquad \begin{cases} \dfrac{\partial L}{\partial u}-\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\partial L}{\partial u'}\right)=0,\\\\ u(0)=u\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0. \end{cases}$$

1. Écrire l'équation d'Euler–Lagrange pour la fonctionnelle $L$.

2. Déterminer la solution de $(P)$. On en déduit la fonction qui minimise la fonctionnelle $J$.

Soit $f\in L^2(]0,1[)$. On considère le problème

$$(\mathcal{P})\qquad \begin{cases} -u''+u=f, & \text{dans } ]0,1[,\\\\ u(0)=u(1)=0. \end{cases}$$

On définit les formes

$$a(u,v)=\int_0^1u(x)v(x)\,dx +\int_0^1u'(x)v'(x)\,dx$$

et

$$L(v)=\int_0^1f(x)v(x)\,dx, \qquad \forall u,v\in H_0^1(]0,1[).$$

1. Montrer qu'il existe une unique solution $u^*\in H_0^1(]0,1[)$ telle que

$$a(u^*,v)=L(v), \qquad \forall v\in H_0^1(]0,1[).$$

2. Montrer que si $f\in C([0,1])$, alors $u^*\in C^2([0,1])$.

3. En déduire que $u^*$ est une solution de $(\mathcal{P})$.

Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$ et soit $G\in C^1$ telle que $G(0)=0$.

1. Soit $v\in\mathcal{D}(\mathbb{R})$. En utilisant l'identité

$$v^2(x)-v^2(y)=\int_y^x2v(t)v'(t)\,dt, \qquad \forall x,y\in\mathbb{R},$$

montrer que

$$\lVert v\rVert_{L^\infty}\leq\lVert v\rVert_{H^1}.$$

2. En déduire que $H^1(I)\subset L^\infty(I)$.

3. Montrer que si $u\in H^1(I)$, alors $G\circ u\in L^2(I)$ et $(G'\circ u)u'\in L^2(I)$.

4. Soient $u\in H^1(I)$ et $(u_n)_n\subset\mathcal{D}(\mathbb{R})$ tels que $u_n\to u$ dans $H^1(I)$. Montrer que

$$\int_I(G\circ u_n)\varphi'\,dx =-\int_I(G'\circ u_n)u_n'\varphi\,dx, \qquad \forall\varphi\in\mathcal{D}(I).$$

En déduire que $G\circ u\in H^1(I)$.