مسابقة دكتوراه 2012 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 02

مسابقة تخصص · Analyse Numérique & Optimisation

Concours d'accès au doctorat, Université de M'sila, Épreuve d'Analyse Numérique, 08 décembre 2012.

التمرين 1

Exercice 1 — Méthode du gradient conjugué

#numerical-analysis#conjugate-gradient#positive-definite#linear-systems

Soit le système $Ax=b$ avec

$A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix} 1{,}4\\ 1{,}8\\ 2{,}2\end{pmatrix}.$

◀الحل

Mineurs principaux $2\gt0,\ 3\gt0,\ 4\gt0$ : $A$ est SDP. 2. Le gradient conjugué converge en au plus 3 itérations : $\boxed{x=(0{,}4\,;\,0{,}6\,;\,0{,}8)}$ (on vérifie $Ax=b$ ).

Exercice 2 — Interpolation et intégration numérique

#interpolation#lagrange#quadrature#error-estimate

Écrire le polynôme d'interpolation de Lagrange d'une fonction $f$ aux points $x_0,x_1,x_2$ .
En déduire la formule de quadrature de Simpson sur $[a,b]$ et son erreur.

◀الحل

$L(x)=\sum_{i=0}^2 f(x_i)\prod_{j\ne i}\dfrac{x-x_j}{x_i-x_j}$ . 2. Simpson : $\int_a^b f\approx\dfrac{b-a}{6}\big(f(a)+4f(\tfrac{a+b}{2})+f(b)\big)$ , erreur $\boxed{-\dfrac{(b-a)^5}{2880}f^{(4)}(\xi)}$ .

Exercice 3 — Méthodes itératives et convergence

#iterative-methods#jacobi#gauss-seidel#spectral-radius

Pour résoudre $Ax=b$ on utilise les méthodes de Jacobi et de Gauss-Seidel.

Écrire les matrices d'itération.
Énoncer le critère de convergence par le rayon spectral et le cas des matrices à diagonale strictement dominante.

◀الحل

$A=D-E-F$ : Jacobi $J=D^{-1}(E+F)$ , Gauss-Seidel $L=(D-E)^{-1}F$ . 2. Convergence $\iff\rho(\cdot)\lt1$ ; si $A$ est à diagonale strictement dominante, les deux méthodes convergent.