مسابقة دكتوراه 2012 — Concours national d'accès au Doctorat (Algérie) — الموضوع 02

مسابقة تخصص · Systèmes Dynamiques · المدة: 1سا 30د

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Concours de formation doctorale, Épreuve de systèmes dynamiques, 12 décembre 2012, durée 1h30.

التمرين 1

Exercice 1 — Indice a l'infini

#dynamical-systems#index-theory#equilibria

Calculer l'indice à l'infini du système

$\dfrac{dx}{dt}=x-y,\qquad \dfrac{dy}{dt}=x-y^2.$

◀الحل

Équilibres $(0,0)$ (source, indice $+1$ ) et $(1,1)$ (selle, indice $-1$ ). L'indice le long d'un grand cercle entourant tous les points vaut la somme :

$\boxed{(+1)+(-1)=0}$

التمرين 2

Exercice 2 — Solution périodique entourant l'origine

#limit-cycles#poincare-bendixson#periodic-orbits

Montrer que le système suivant possède au moins une solution périodique qui entoure l'origine $(0,0)$ :

$\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=y+\dfrac14 x(1-2r^2)\\[4pt]\dfrac{dy}{dt}=-x+\dfrac12 y(1-r^2)\end{cases}\qquad r^2=x^2+y^2.$

◀الحل

En coordonnées, $\tfrac12\dfrac{dr^2}{dt}=\tfrac14x^2(1-2r^2)+\tfrac12y^2(1-r^2)$ . Sur un petit cercle ( $r$ petit) c'est $\gt0$ (flux sortant), sur un grand cercle ( $r$ grand) c'est $\lt0$ (flux entrant). L'anneau est positivement invariant, sans point d'équilibre : Poincaré-Bendixson donne

$\boxed{\text{au moins une orbite périodique entourant }(0,0)}$

التمرين 3

Exercice 3 — Solution explicite et ensemble invariant

#invariant-manifold#flow#explicit-solution

Soit le système $\dot{x}_1=-x_1,\quad \dot{x}_2=x_2+x_1^2$ .

Chercher la solution $\begin{pmatrix}x_1(t)\\ x_2(t)\end{pmatrix}$ telle que $\begin{pmatrix}x_1(0)\\ x_2(0)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c_1\\ c_2\end{pmatrix}$ .
Montrer que l'ensemble $S=\{(x_1,x_2)\ /\ x_2=-\tfrac{x_1^2}{3}\}$ est invariant par le flot $\phi_t$ .

◀الحل

$x_1=c_1e^{-t}$ , $x_2=c_2e^{t}-\tfrac{c_1^2}{3}e^{-2t}$ .
Sur $S$ : $c_2=0$ , alors $x_2=-\tfrac{c_1^2}{3}e^{-2t}=-\tfrac{x_1^2}{3}$ pour tout $t$ :

$\boxed{S\ \text{est invariant (variété stable)}}$

التمرين 4

Exercice 4 — Cycles limites

#limit-cycles#bendixson-criterion#divergence

Soit le système $\dfrac{dx}{dt}=-x+y^2,\quad \dfrac{dy}{dt}=y+x^2+yx^2$ . Étudier l'existence des cycles limites.

◀الحل

Divergence $=\dfrac{\partial}{\partial x}(-x+y^2)+\dfrac{\partial}{\partial y}(y+x^2+yx^2)=-1+(1+x^2)=x^2\ge0$ , nulle seulement sur $x=0$ . Par le critère de Bendixson :

$\boxed{\text{aucun cycle limite}}$

التمرين 5

Exercice 5 — Variétés centrale et stable

#center-manifold#stable-manifold#local-dynamics

Chercher les variétés centrale et stable au voisinage du point d'équilibre $(0,0)$ du système suivant et tracer les orbites :

$\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=x^2 y-x^5\\[4pt]\dfrac{dy}{dt}=-y+2x^3\end{cases}$

◀الحل

Linéarisé : valeurs propres $0$ (axe $x$ ) et $-1$ (axe $y$ , variété stable). Variété centrale $y=h(x)=2x^3+\cdots$ ; la dynamique réduite est $\dot x=x^2(2x^3)-x^5=x^5$ :

$\boxed{\dot x=x^5\ \Rightarrow\ (0,0)\ \text{instable sur la variété centrale}}$

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