مسابقة دكتوراه 2015 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 04

Soit $E=\left(C([-1,1];\mathbb{R}),\lVert\cdot\rVert_\infty\right)$. Pour $f\in E$, on pose

$ \varphi(f)=\int_{-1}^{0}f(t),dt-\int_0^1f(t),dt.

1. Montrer que $\varphi$ est une forme linéaire et continue sur $E$.

2. Déterminer $\lVert\varphi\rVert_{E'}$.

Soit $H=C^1([0,1],\mathbb{R})$ l’espace des fonctions continûment dérivables de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$. On définit l’application

$ u:H\times H\to\mathbb{R},\qquad (f,g)\mapsto u(f,g)=\int_0^1\left(f(t)g(t)+f'(t)g'(t)\right),dt.

1. Montrer que $u$ est un produit scalaire sur $H$.

2. On définit une suite $(f_n)_n$ par

$
f_n(x)=\begin{cases}
nx, & x\in\left[0,\frac{1}{n^4}\right],\\
\frac{4}{3}x^{\frac{3}{4}}-\frac{1}{3n^3}, & x\in\left[\frac{1}{n^4},1\right].
\end{cases}

1. Montrer que $f_n\in H$, pour tout $n>0$.
2. Montrer que $(f_n)_n$ est de Cauchy.
3. $H$ est-il de Hilbert ?

Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$, $n\in\mathbb{N}$.

1. Rappeler les espaces de Sobolev $H^1(\Omega)$ et $H_0^1(\Omega)$.

2. Montrer que toute fonction de $C^1([-\alpha,\alpha])$ est dans $H^1(]-\alpha,\alpha[)$.

3. Soit $u$ une fonction continue sur $[-\alpha,\alpha]$ satisfaisant $u\in C^1([-\alpha,0])$ et $u\in C^1([0,\alpha])$. Montrer que $u\in H^1(]-\alpha,\alpha[)$.

4. Fixons $f\in L^2(\Omega)$ et $u\in H^1(\Omega)$. Montrer qu’il y a équivalence entre les deux affirmations suivantes :

   1. $\mu\Delta u+(1+k^2)u=0$ dans $\mathcal{D}'(\Omega)$.

$\sum_{i=1}^{n}-\mu\int_\Omega\frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{\partial v}{\partial x_i}\,dx+(1+k^2)\int_\Omega uv\,dx=0,\quad \forall v\in H_0^1(\Omega). ``$