مسابقة دكتوراه 2015 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 07

1. Rappeler le théorème de Calderón-Zygmund.

2. Démontrer que l’on définit une distribution $T\in\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ en posant

$$\forall\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}),\qquad \left\langle \operatorname{pf}\frac{1}{\lvert x\rvert^{5/2}},\varphi\right\rangle=\int_{\mathbb{R}}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)-x\varphi'(0)}{\lvert x\rvert^{5/2}}\,dx,$$

et de plus que

$$\forall\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}),\qquad \left\lvert\left\langle \operatorname{pf}\frac{1}{\lvert x\rvert^{5/2}},\varphi\right\rangle\right\rvert\leq A\left(\lVert\varphi\rVert_\infty+\lVert\varphi'\rVert_\infty+\lVert\varphi''\rVert_\infty\right),\quad A>0.$$

2.1. Construire une fonction $g\in\mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\operatorname{supp}g\subset]0,3[$, $0\leq g\leq1$ et $g=1$ sur $[1,2]$. Justifier la réponse.

Indication : utiliser le fait qu’il existe une fonction croissante $\theta\in C^\infty(\mathbb{R})$ telle que

$$\theta(x)=\begin{cases} 1, & x\geq1,\\ 0, & x\leq0. \end{cases}$$

2.2. Prouver que

$$\left\lvert\left\langle \operatorname{pf}\frac{1}{\lvert x\rvert^{5/2}},g_\varepsilon\right\rangle\right\rvert\geq\frac{C}{\varepsilon^{3/2}},$$

pour tout $0<\varepsilon<1$, avec $g_\varepsilon=g\left(\frac{\cdot}{\varepsilon}\right)$ et $C>0$.

2.3. Déduire l’ordre de cette distribution.

3. Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $L^1(\mathbb{R}^n)$. Prouver que

$$\operatorname{supp}(f*g)\subset \operatorname{supp}(f)+\operatorname{supp}(g).$$

Soient $1\leq p,q,r\leq\infty$ et $\frac{1}{p}\leq\frac{1}{q}+\frac{1}{r}$. Soient $X,Y$ deux espaces de Banach et $T\in\mathcal{L}(X;Y)$. On dira que $T$ est fortement $(p,q,r)$-sommant s’il existe une constante positive $C$ telle que, pour tous $x_1,\ldots,x_n\in X$ et tous $y_1^*,\ldots,y_n^*\in Y^*$,

$$\left(\sum_{i=1}^{n}\lvert\langle T(x_i),y_i^*\rangle\rvert^p\right)^{1/p}\leq C\left(\sum_{i=1}^{n}\lVert x_i\rVert^q\right)^{1/q}\sup_{\psi\in B_{Y^{**}}}\left(\sum_{i=1}^{n}\lvert\langle\psi,y_i^*\rangle\rvert^r\right)^{1/r}.$$

On note

$$D_{p,q,r}(X,Y)=\{T:X\to Y\text{ linéaires fortement }(p,q,r)\text{-sommants}\}$$

et

$$d_{p,q,r}(T)=\inf\{C\text{ vérifiant l’inégalité précédente}\}.$$

Montrer que :

1. si $T\in D_{p,q,r}(X,Y)$, alors $T$ est continu et $\lVert T\rVert\leq d_{p,q,r}(T)$ ;
2. si $\frac{1}{p}>\frac{1}{q}+\frac{1}{r}$, alors $D_{p,q,r}(X,Y)=\{0\}$ ;
3. $D_{p,q,r}(X,Y)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(X,Y)$ et $d_{p,q,r}$ est une norme sur cet espace ;
4. tout opérateur de rang fini est fortement $(p,q,r)$-sommant ;
5. $d_{p,q,r}(\operatorname{id}_{\mathbb{K}}:\mathbb{K}\to\mathbb{K})=1$ ;
6. s’il existe une probabilité $\mu$ sur $B_{Y^{**}}$ et une constante positive $C$ telles que, pour tout $x\in X$ et $y^*\in Y^*$,

$$\lvert\langle T(x),y^*\rangle\rvert\leq C\lVert x\rVert\left(\int_{B_{Y^{**}}}\lvert\langle\xi,y^*\rangle\rvert^{q^*}\,d\mu(\xi)\right)^{1/q^*},$$

alors $T\in D_{1,q,q^*}(X,Y)$.