مسابقة دكتوراه 2015 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 07

Tous les processus sont définis sur un même espace de probabilité $(\Omega, \mathcal{F}, (\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}, P)$ et soit un mouvement brownien standard $(B_t)_{t \geq 0}$ muni de la filtration naturelle $(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}$.

1. Calculer $E\big((B_t + B_t^2)e^{B_t} \mid \mathcal{F}_s\big)$, pour $s \leq t$.
2. Quelle est la loi de $B_t + B_s$ ?

Soit $(X_t)_{t \geq 0}$ le processus défini pour $t \in [0, 1[$ par

$$X_t = (1 - t)\int_0^t \frac{1}{1 - u}\,dB_u.$$

1. Calculer $E(X_t)$ et $\mathrm{Cov}(X_t, X_s)$, $s \leq t$.
2. Montrer que $\lim_{t \to 1^-} X_t = 0$ en moyenne quadratique.

On considère l'E.D.S. suivante

$$\begin{cases} dX_t = -X_t\,dt + dB_t, \\ X_0 = 0. \end{cases} \tag{1}$$

1. Montrer que l'équation (1) admet une unique solution et que le processus $(X_t)_{t \geq 0}$ défini par

$$X_t = B_t - e^{-t}\int_0^t e^u B_u\,du$$

est solution de (1). 2. Calculer $E(X_t \mid \mathcal{F}_s)$, $s \leq t$. 3. En déduire que le processus $(Y_t)_{t \geq 0}$ défini par $Y_t = e^t X_t$ est une $(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}$-martingale.