مسابقة دكتوراه 2015 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 06

Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$, $n\in\mathbb{N}$.

1. Rappeler les espaces de Sobolev $H^1(\Omega)$ et $H_0^1(\Omega)$.

2. Posons $\Omega=]-1,3[$.

   1. Soit $u$ définie sur $\Omega$ par

$$u(x)=\begin{cases} 1, & x>0,\\ 0, & x\leq 0. \end{cases}$$

Montrer que $u\notin H^1(]-1,3[)$.

2. Vérifier que la fonction $v$ définie par

$$v(t)=\frac{t-\lvert t\rvert}{2}$$

appartient à $H^1(]-1,3[)$, mais qu’elle n’appartient pas à $H^2(]-1,3[)$.

3. Fixons $f\in L^2(\Omega)$ et $u\in H^1(\Omega)$. Montrer l’équivalence entre les deux affirmations suivantes :

   1. $\mu\Delta u+f=0$ dans $\mathcal{D}'(\Omega)$.

$$\sum_{i=1}^{n}\int_\Omega-\mu\frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{\partial v}{\partial x_i}\,dx+\int_\Omega f(x)v(x)\,dx=0,\quad \forall v\in H_0^1(\Omega).$$

Soient $(H,(\cdot,\cdot))$ un espace de Hilbert sur $\mathbb{R}$ et

$$\ell^2(\mathbb{R})=\left\{\xi=(\xi_n)_{n\geq1}:\sum_{n=1}^{+\infty}\lvert\xi_n\rvert^2<+\infty\right\}$$

l’espace de Hilbert sur $\mathbb{R}$ muni du produit scalaire

$$\forall\xi=(\xi_n)_{n\geq1},\ \varepsilon=(\varepsilon_n)_{n\geq1}\in\ell^2:\quad (\xi,\varepsilon)=\sum_{n=1}^{+\infty}\xi_n\varepsilon_n.$$

1. Soient $(x_n)_n$ et $(y_n)_n$ deux suites de $H$. Montrer que si $x_n\to x$ et $y_n\to y$, alors

   1. $(x_n,v)\to(x,v)$, pour tout $v\in H$, et $(x_n,y_n)\to(x,y)$.
   2. Déduire que $x_n\to x$ implique $\lVert x_n\rVert\to\lVert x\rVert$.

2. Soit $(u_n)_{n\geq1}$ une base orthonormée dans $H$.

   1. Montrer que, pour toute suite $(\xi_n)_{n\geq1}\in\ell^2$, la série $\sum_{n=1}^{+\infty}\xi_nu_n$ converge dans $H$.
   2. Soit l’application

$$S:H\to\ell^2,\qquad x\mapsto S(x)=((x,u_n))_n.$$

Montrer que $S$ est linéaire bornée, que $S$ est bijective et que

$$\forall x,y\in H:\quad (S(x),S(y))_{\ell^2}=(x,y)_H.$$