مسابقة دكتوراه 2016 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 10

Soient $f,g$ deux applications continues d’un espace topologique $X$ dans un espace topologique séparé $Y$.

1. Montrer que la diagonale

$ \Delta={(y,y):y\in Y}

est fermée dans l’espace topologique produit $Y\times Y$.

2. Montrer que lΓÇÖensemble

$
F=\{x\in X:f(x)=g(x)\}

est fermé dans $X$.

3. Montrer que le graphe $G(f)$ de $f$ est fermé dans $X\times Y$.

4. Donner un exemple montrant que la réciproque n’est pas toujours vraie. Considérer $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ définie par

$f(x)=\begin{cases}\frac1x,&x\neq0,\\0,&x=0.\end{cases} ``$

Soit $E=C([0,1];\mathbb{R})$. Pour tout $f\in E$, on pose

$ N(f)=\int_0^1t\lvert f(t)\rvert,dt

et

$
\lVert f\rVert_\infty=\sup_{t\in[0,1]}\lvert f(t)\rvert.

1. Montrer que $N$ est une norme sur $E$.

2. Pour tout $n\geq1$, on pose

$ f_n(t)=\begin{cases}1-nt,&t\in\left[0,\frac1n\right],\0,&t\in\left[\frac1n,1\right].\end{cases}

Calculer $\lVert f_n\rVert_\infty$ et $N(f_n)$. En déduire que les deux normes ne sont pas équivalentes.

On définit, pour $(x,y)\in\mathbb{R}^2$,

$ N(x,y)=\max{\lvert x\rvert,\lvert2x+y\rvert}.

1. Montrer que $N$ est une norme sur $\mathbb{R}^2$. Décrire la boule ouverte de centre $(0,0)$ et de rayon $1$.

2. Montrer que $N$ est équivalente à la norme $\lVert(x,y)\rVert_1=\lvert x\rvert+\lvert y\rvert$ et trouver des constantes strictement positives $\alpha$ et $\beta$ telles que

$
\alpha\lVert\cdot\rVert_1\leq N\leq\beta\lVert\cdot\rVert_1.

3. Décrire l’intérieur et l’adhérence de

$ A={(x,y)\in\mathbb{R}^2:\lvert2x-y\rvert<1}.

4. L’adhérence de $A$ est-elle compacte ? Est-elle connexe ?